Movimiento elíptico de partícula con barra y resorte

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Un resorte ideal de longitud natural nula y constante recuperadora desconocida tiene un un extremo fijado en el punto $\ O$ y el otro en una partícula material $\ P$ de masa $m\$ que, bajo la acción del resorte, describe una trayectoria elíptica en el plano $OXY\$ dada por las ecuaciones horarias

$\overrightarrow{OP}=\mathbf{r} (t)=d \left[\sqrt{2}\cos (\omega t)\ \mathbf{i}+\mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{j}\right]$

iniciándose el movimiento en el instante $t = 0\$ . Además, una barra de longitud $l\$ (siendo $l>\sqrt{2}d$ ) y masa despreciable, en cuyo extremo se encuentra la partícula, sirve de guía al resorte, siendo siempre colineal con él.

Determine el valor de la constante recuperadora del resorte y la velocidad de la partícula $P\$ en el instante inicial, así como su momento cinético y su energía mecánica en cualquier instante de tiempo.
Obtenga la expresión de las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier instante de tiempo, así como el radio de curvatura de su trayectoria.
Obtenga la reducción cinemática correspondiente al movimiento de la barra y la derivada temporal de dicha reducción.

2 Solución

2.1 Primer apartado

2.1.1 Magnitudes cinemáticas

Puesto que las ecuaciones de movimiento de la partícula son un dato del problema, podemos determinar su posición $\ \mathbf{r}(t)$ , y su velocidad $\ \mathbf{v}(t)$ , en cualquier instante de tiempo:

$\displaystyle\overrightarrow{OP}=\mathbf{r} (t)=d \left[\sqrt{2}\ \cos (\omega t)\ \mathbf{i}+\mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{j}\right]\qquad\longrightarrow\qquad\mathbf{r}_0=\mathbf{r}(t=0)=\sqrt{2}d\ \mathbf{i}$

$\displaystyle\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXY}= \omega d\left[-\sqrt{2}\ \mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{i}+ \cos(\omega t)\ \mathbf{j}\right]$ $\longrightarrow$ $\mathbf{v}_0=\mathbf{v}(t=0)= \omega d\ \mathbf{j}$

Asimismo, también podemos determinar la aceleración instantánea $\ \mathbf{a}(t)$ de la partícula que, como puede comprobarse, es colineal y opuesta al vector posición en todo instante de tiempo:

$\displaystyle\mathbf{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXY}=-\omega^2d \left[\sqrt{2}\ \cos (\omega t)\ \mathbf{i}+ \mathrm{sen}(\omega t)\ \mathbf{j}\right]\qquad\Longrightarrow\qquad\mathbf{a}(t)=-\omega^2\mathbf{r}(t)\mathrm{,}\quad\forall\, t$

Además, la relacion entre sus módulos es siempre la misma, pues $\ \omega$ es un parámetro físico de valor constante y que se proporciona como dato en el enunciado.

2.1.2 Valor de la constante recuperadora

El último resultado obtenido, junto con la aplicación de la segunda ley de Newton, nos permitirá determinar el valor de la constante recuperadora $\ k$ que, según el modelo de Hooke, caracteriza al resorte. Como se sabe, dicho modelo establece que la fuerza realizada por un resorte ideal ( $\mathbf{F}_\mathrm{res}$ ) tiene dirección colineal y sentido opuesto al de su elongación, y su módulo es proporcional a ésta, siendo $\ k$ el valor de la constante de proporcionalidad.

Por otra parte, en el enunciado se indica que el resorte tiene longitud natural nula, de manera que la elongación vendrá descrita por el segmento orientado $\overrightarrow{OP}$ . Además, la ley horaria y la trayectoria seguidas por la partícula son el resultado de la acción exclusiva del resorte; es decir, sobre $\ P$ no actúa ninguna otra fuerza real o vincular. Se tendrá, por tanto...

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\sum_i\mathbf{F}_i=m\mathbf{a}(t)=-m\omega^2\ \mathbf{r}(t)\\ \\ \displaystyle\sum_i\mathbf{F}_i=\mathbf{F}_\mathrm{res}=k\ \overrightarrow{PO}=-k\ \mathbf{r}(t)\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ $\displaystyle k=m\omega^2$

2.1.3 Momento cinético

El momento cinético de la partícula $\ P$ respecto de un punto, es el momento de su cantidad de movimiento respecto de dicho punto. Así, puede determinarse su valor en cualquier instante de tiempo sin más que aplicar su defición,

$\mathbf{L}_O (t)=\overrightarrow{OP}\times\mathbf{p}(t)=m\mathbf{r}(t)\times\mathbf{v}(t),$

con las anteriores expresiones instantáneas para la posición y la velocidad de la partícula. Pero también puede obtenerse por un procedimiento más “elegante”, aplicando el teorema de conservación que se deriva del teorema del momento cinético,

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}=\sum_i\mathbf{M}_O^i$

En el sistema bajo estudio, el momento resultante respecto de $\ O$ del sistema de fuerzas se reduce al correspondiente a la fuerza del resorte:

$\sum_i\mathbf{M}_O^i=\overrightarrow{OP}\times\mathbf{F}_\mathrm{res}=-k\ \mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}(t)=\mathbf{0}\mathrm{;}\quad\forall\, t$

que es nulo en todo instante de tiempo, ya que la elongación del resorte (y por tanto, la fuerza recuperadora) coincide siempre con el radio-vector que indica la posición relativa de la partícula respecto de dicho punto fijo. En consecuencia, el momento cinético de la partícula respecto de $\ O$ es constante en el tiempo; es decir, en el transcurso del movimiento $\mathbf{L}_O(t)$ debe mantener el valor que tenía en el instante inicial:

$\sum_i\mathbf{M}_O^i=\mathbf{0}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}\mathrm{;}\quad\forall\, t$ $\Rightarrow$ $\mathbf{L}_O(t)=\mathbf{L}_O=m\mathbf{r}_0\times\mathbf{v}_0=\sqrt{2}\ m\omega d^2\ \mathbf{k}\mathrm{,} \quad \mathrm{cte.}$

2.1.4 Energía mecánica

La energía mecánica $\ E$ de la partícula es igual a la suma de su energía cinética $\ K$ , y sus energías potenciales $\ U_i$ ligadas a las fuerzas conservativas que actúan sobre la partícula y que, en el caso que nos ocupa, se limitan a la del resorte:

$E=K+\sum_iU_i(\mathbf{r})=\frac{1}{2}\ m |\mathbf{v}(t)|^2+U_\mathbf{res}[\mathbf{r}(t)]$

Para determinar la energía potencial del resorte, exigiremos que el trabajo elemental realizado por la fuerza recuperadora en un desplazamiento infinitesimal de la partícula sea opuesto a la variación infinitesimal de su energía potencial:

$-\mathrm{d}U_\mathbf{res}=\mathbf{F}_\mathrm{res}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=-k\ \mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}\qquad\Longrightarrow\qquad U_\mathbf{res}(\mathbf{r})=\frac{1}{2}\ k |\mathbf{r}|^2=\frac{1}{2}\ m \omega^2 |\mathbf{r}|^2$

donde se hemos considerado que la enegía potencial es nula cuando también lo es la elongación. La energía mecánica de la partícula la obtendremos sustituyendo los valores de los módulos de los vectores posición y velocidad en las anteriores expresiones. Pero como en el caso del momento cinético, también podemos obtenerla mediante la aplicación del correspondiente teorema de conservación: si las fuerzas que actúan sobre una partícula son todas conservativas, la variación de energía cinética de aquélla (en cualquier intervalo de tiempo), es opuesta al cambio de energía potencial; en consecuencia, la energía mecánica permanece constante. Obsérvese que el en el sistema bajo estudio se cumplen las condiciones del teorema, por tanto, la energía mecánica de la partícula es, en todo momento, la del instante inicial:

$\Delta K=-\Delta U_\mathrm{res}\mathrm{,} \quad \forall \, \Delta t$ $\Rightarrow$ $E=\frac{1}{2}\ m |\mathrm{v}_0|^2+\frac{1}{2}\ k |\mathrm{r}_0|^2=\frac{3}{2}\ m\omega^2d^2\mathrm{,}\quad\forall\, t$

2.2 Segundo apartado

Ahora debemos calcular las expresiones de las magnitudes cinemáticas en términos de los vectores del triedro de Frenet

$\left\{\mathbf{T}\mathrm{,}\,\mathbf{N}\mathrm{,}\,\mathbf{B}\right\}_{P(t)}$

que, como se sabe, está determinado por la propia trayectoria seguida por la partícula en su movimiento.

2.2.1 Componentes intrínsecas de la velocidad

La velocidad instantánea, $\mathbf{v}(t)$ tiene la dirección del vector tangente a la trayectoria en el punto en que se encuentra la partícula:

$\mathbf{v}(t)=v(t)\mathbf{T}$

Dicho vector tangente tiene módulo unidad y su sentido es el que arbitariamente hallamos asignado para medir incrementos positivos del parámetro arco $\Delta s\$ (distancias sobre la trayectoria). Adoptemos el parámetro geométrico

$\ \lambda= \omega t$

para describir la trayectoria. Es decir, comenzamos a medir distancias en el punto $\ P(0)$ , ocupado por la partícula en el instante inicial (y $\ \lambda=0$ ), y consideraremos que se recorrerán incrementos de arco positivos cuando nos desplacemos sobre la trayectoria elíptica en el sentido antihorario ( $\ \lambda$ creciente), al igual que lo hace la partícula conforme transcurre el tiempo. En estas circunstancias, el vector tangente va a tener en todo instante el sentido de la velocidad, por tanto:

$\mathbf{T}(\lambda)=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}=\frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{sen}^2(\lambda)}}\left[-\sqrt{2}\ \mathrm{sen}(\lambda)\ \mathbf{i}+\cos (\lambda)\ \mathbf{j}\right]$

En consecuencia, la celeridad $\ v(t)$ , o componente intrínseca de la velocidad, será en todo instante igual al módulo de dicho vector:

$v(t)=|\mathbf{v}(t)|=\omega d\ \sqrt{1+\mathrm{sen}^2(\omega t)}$

Nótese que la ley horaria para el parámetro arco debe ser una función del tiempo...

$s=s(t)\mathrm{,}\quad\mathrm{tal}\;\mathrm{que}\quad\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\omega d\ \sqrt{1+\mathrm{sen}^2(\omega t)}$

Por tanto, $\ \lambda (t)$ no es el arco de la trayectoria, sino otro parámetro geométrico adimensional (se puede medir en radianes), pero que permite la parametrización de la trayectoria y, junto con su ley horaria $\ \lambda (t)=\omega t$ , la descripción del movimiento de la partícula. La relación entre los diferenciales de los parámetros $\ s$ y $\ \lambda$ puede determinarse fácilmente aplicando la regla de la cadena y el resultado anterior:

$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\lambda}\ \frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\lambda}\ \omega\qquad\Longrightarrow\qquad s=s(\lambda)\mathrm{,}\quad\mathrm{tal}\;\mathrm{que}\quad \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\lambda}=d\ \sqrt{1+\mathrm{sen}^2(\lambda)}$

2.2.2 Componentes intrínsecas de la aceleración

En cada punto de la trayectoria, la aceleración de la partícula puede expresarse como una combinación de los vectores tangente, $\ \mathbf{T}$ , y normal, $\ \mathbf{N}$ :

$\mathbf{a}(t)=\mathbf{a}_\mathrm{T}(t)+\mathbf{a}_\mathrm{N}(t)=a_\mathrm{T}\ \mathbf{T}+a_\mathrm{N}\ \mathbf{N}\mathrm{,}\quad\mathrm{siendo}\quad\left\{\begin{array}{l}\displaystyle a_\mathrm{T}(t)=\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}\quad\mathrm{(componente}\;\mathrm{tangencial)}\\ \\ \displaystyle a_\mathrm{N}(t)=\frac{v^2(t)}{R_\kappa(\lambda)}\quad\mathrm{(componente}\;\mathrm{normal)}\end{array}\right.$

Como ya conocemos la ley horaria para la celeridad $\ v(t)$ , podemos calcular la componente tangencial de la aceleración sin más que derivar dicha ley con respecto al tiempo. O bien, teniendo en cuenta que el triedro de Frenet es una base ortonormal y que conocemos las expresiones de la aceleración instantánea y del vector tangente en cada punto de la trayectoria:

$a_\mathrm{T}(t)=\mathbf{a}(t)\cdot\mathbf{T}[\lambda(t)]$ $\ \longrightarrow$ $a_\mathrm{T}(t)=\frac{\omega^2d\ \mathrm{sen}(\omega t)\cos (\omega t)}{\sqrt{1+\mathrm{sen}^2(\omega t)}}$

Para determinar la aceleración normal podemos seguir varios procedimientos. Pero continuemos explotando que ya conocemos el vector tangente y la aceleración instantánea en cualuier punto de la trayectoria. Si evaluamos el productor su productor vectorial en este orden...

$\mathbf{T}\times\mathbf{a}(t)=\mathbf{T}\times\bigg(a_\mathrm{T}\ \mathbf{T}+a_\mathrm{N}\ \mathbf{N}\bigg)=a_\mathrm{N}\ \bigg(\mathbf{T}\times\mathbf{N}\bigg)=a_\mathrm{N}\ \mathbf{B}$

resulta que éste tiene la misma dirección que el vector binormal $\mathbf{B}$ en el punto de la trayectoria que la partícula ocupa en ese instante... ¡y también el mismo sentido!, ya que la componente normal de la aceleración $a N$ es, por definición, siempre positiva o nula. Como el vector binormal es unitario, se tendrá entonces:

$a_\mathrm{N}(t)=\bigg|\mathbf{T}[\lambda(t)]\times\mathbf{a}(t)\bigg|$ $\ \longrightarrow$ $a_\mathrm{N}(t)=\frac{\sqrt{2}\ \omega^2d}{\sqrt{1+\mathrm{sen}^2(\omega t)}}$

2.2.3 Radio de curvatura

El radio de curvatura de la trayectoria $\ R_\kappa(\lambda)$ , es una función de la posición que determinaremos a partir de los resultados obtenidos para la celeridad y la aceleración normal de la partícula:

$R_\kappa(\lambda)=\frac{v^2[t(\lambda)]}{a_\mathrm{N}[t(\lambda)]}=\frac{\sqrt{2}\ d}{2}\ \left[1+\mathrm{sen}^2(\lambda)\right]^{3/2}$

Finalmente, los vectores binormal y normal en el punto $\ P(t)$ de la trayectoria, también pueden ser calculados facilmente:

$\mathbf{B}(\lambda)=\frac{\mathbf{T}(\lambda)\times\mathbf{a}[t(\lambda)]}{a_\mathrm{N}[t(\lambda)]}=\mathbf{k}\mathrm{,}\quad\forall\, t\mathrm{;}$

$\mathbf{N}(\lambda)=\mathbf{B}(\lambda)\times\mathbf{T}(\lambda)=-\frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{sen}^2(\lambda)}}\left[\cos (\lambda)\ \mathbf{i}+\sqrt{2}\ \mathrm{sen}(\lambda)\ \mathbf{j}\right]$

2.3 Tercer apartado: reducción cinemática para la barra

Hasta el momento nos hemos ocupado de la dinámica del punto material $\ P(t)$ . Pasamos ahora a estudiar algunas propiedades cinemáticas de la barra $\overline{CP}$ (sólido “0”), que tiene un extremo solidario con dicha partícula y está obligada a pasar siempre por el centro $\ O$ del sistema de referencia fijo $\ OXY$ (sólido “1”). La descripción del movimiento de la barra se realiza en términos de la reducción cinemática, consistente en los valores instantáneos y/o las expresiones como funciones del tiempo de la velocidad de un punto de dicho sólido (por ejemplo, su extremo $\ P$ ), y de su vector rotación, respecto del sistema de referencia:

$\big\{\vec{\mathbf{\omega}}_{01}(t)\mathrm{;}\, \mathbf{v}_{01}^P(t)\big\}$

Obsérvese que si realizamos la reducción en este punto, ya tenemos calculada una de las magnitudes que la componen, ya que el extremo $\ P$ de la barra se mueve como la partícula puntual; por tanto,

$\mathbf{v}_{01}^P(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{1}= \omega d \left[-\sqrt{2}\ \mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{i}+ \cos(\omega t)\ \mathbf{j}\right]\mathrm{;}$ $\mathrm{pues}\;\ \overrightarrow{OP}=\mathbf{r}(t)$

La dirección del vector rotación instantánea $\vec{\omega}_{01}$ está completamente determinado por moverse la barra siempre contenida en el plano fijo $\ OXY$ . Es decir, realiza un movimiento plano tal que su campo de velocidades es siempre perpendicular al vector unitario $\mathbf{k}$ :

$\vec{\omega}_{01}\perp\mathbf{v}_{01}^Q\perp\mathbf{k}\mathrm{,}\;\forall Q\in\overline{CP}\qquad\Longleftrightarrow\qquad\vec{\omega}_{01}(t)=\omega_{01} (t)\ \mathbf{k}$

Para determinar la magnitud y el sentido del vector rotación instantánea necesitamos conocer propiedades características del movimiento de algún otro punto de la barra. En el enunciado se indica que la barra $\overline{CP}$ sirve de guía al resorte que conecta el punto fijo $\ O$ del sistema de referencia con la partícula/extremo de la barra $\ P$ , de manera que ambos elementos son siempre colineales. Es decir, la barra está obligada a deslizarse por el origen $\ O$ del sistema de referencia. Consideremos el punto de la barra $\ O(t)$ que en un cierto instante $\ t$ , se encuentra sobre dicho punto fijo. Nótese que la velocidad de este punto, en el instante considerado también debe ser colineal con la barra (y con $\overrightarrow{OP}$ , por tanto), ya que de lo contrario en el instante $\ t+\mathrm{d}t$ ésta ya no estaría sobre el punto fijo $\ O$ .

$\overline{CP}\ \big\|\ \overrightarrow{OP}=\mathbf{r}(t)\quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{OP}\ \big\|\ \mathbf{v}_{01}^O (t)\mathrm{,}\;\forall\ t$

Esta condición, junto con la aplicación del teorema de Chasles, la podemos utilizar para formular una ecuación que nos permite determinar el vector rotación correspondiente al movimiento {01} en cualquier instante de tiempo:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\overrightarrow{OP}\times\mathbf{v}_{01}^O(t)=\mathbf{0}\\ \\ \mathbf{v}_{01}^P(t)=\mathbf{v}_{01}^O(t)+\vec{\omega}_{01}(t)\times\overrightarrow{OP}\end{array}\right\}\qquad\Longrightarrow\qquad\overrightarrow{OP}\times\mathbf{v}_{01}^P(t)=\overrightarrow{OP}\times\big[\vec{\omega}_{01}(t)\times\overrightarrow{OP}\big]=\vec{\omega}_{01}(t)\big|\overrightarrow{OP}\big|^2-\overrightarrow{OP}\underbrace{\big[\vec{\omega}_{01}(t)\cdot\overrightarrow{OP}\big]}_{=0}$

Teniendo en cuenta de nuevo que el extremo $\ P$ de la barra coincide siempre con la partícula material y que por tanto, se mueve igual, se tendrá que el producto vectorial del primer miembro de la ecuación anterior es el momento cinético de la partícula dividido por su masa $\ m$ , además de que la longitud del segmento orientando $\ \overrightarrow{OP}$ es, en cada instante, el módulo del radio-vector $\ \mathbf{r}(t)$ que indica la posición de la partícula:

Sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene el vector rotación instantánea:

$\vec{\omega}_{01}(t)=\frac{\overrightarrow{OP}\times\mathbf{v}_{01}^P(t)}{\big|\overrightarrow{OP}\big|^2}=\frac{\mathbf{L}_0}{m\ |\mathbf{r}(t)|^2}=\frac{\sqrt{2}\ \omega}{1+\cos^2(\omega t)}\ \mathbf{k}$

Las derivada de la reducción cinemática del movimiento {01} vendrá dada por las derivadas temporales (medidas respecto del sistema de referencia fijo) de las dos magnitudes que lo componen. Es decir, la derivada del vector rotación y la aceleración instantánea del centro de reducción $\ P$ :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg[\big\{\vec{\mathbf{\omega}}_{01}(t)\mathrm{;}\, \mathbf{v}_{01}^P(t)\big\}\bigg]_1=\big\{\vec{\mathbf{\alpha}}_{01}(t)\mathrm{;}\, \mathbf{a}_{01}^P(t)\big\}$

Obviamente, ésta última será la misma aceleración instantánea que calculamos en el primer apartado para la partícula situada en el extremo $\ P$ de la barra, mientras que la aceleración del vector rotación la calculamos derivando éste con respecto al tiempo:

$\vec{\alpha}_{01}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{1}=\frac{2\sqrt{2}\ \omega^2\ \mathrm{sen}(\omega t)\cos (\omega t)}{[1+\cos^2(\omega t)]^2}\ \mathbf{k}\mathrm{;}$ $\mathbf{a}_{01}^P(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_{01}^P}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{1}=- \omega^2d \left[\sqrt{2}\ \cos (\omega t)\ \mathbf{i}+ \mathrm{sen}(\omega t)\ \mathbf{j}\right]$

Movimiento elíptico de partícula con barra y resorte

De Laplace

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Primer apartado

2.1.1 Magnitudes cinemáticas

2.1.2 Valor de la constante recuperadora

2.1.3 Momento cinético

2.1.4 Energía mecánica

2.2 Segundo apartado

2.2.1 Componentes intrínsecas de la velocidad

2.2.2 Componentes intrínsecas de la aceleración

2.2.3 Radio de curvatura

2.3 Tercer apartado: reducción cinemática para la barra

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