Movimiento de una mancuerna ideal
De Laplace
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1 Enunciado
Supongamos dos masas iguales m unidas por una barra rígida de longitud b, sin masa (lo que sería una mancuerna ideal). Las masas reposan sobre un plano horizontal, sobre el que pueden moverse sin rozamiento. A una de las masas se le comunica una velocidad inicial perpendicular a la línea de la barra, mientras que la otra se encuentra inicialmente en reposo. ¿Cuánto valen la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al CM y la energía cinética de la barra? ¿Cómo es el movimiento del sistema a partir de ese momento?
2 Cantidad de movimiento
La cantidad de movimiento del sistema es la suma de los de las partículas que lo componen
![\vec{p}=m_A\vec{v}_A+m_B\vec{v}_B=m\cdot \vec{0}+m(v_0\vec{\jmath})=mv_0\vec{\jmath}](/wiki/images/math/4/a/7/4a72e78bf94cd480b8b927f404b101d9.png)
Esto nos da la velocidad del CM
![\vec{v}_G=\frac{\vec{p}}{m_T}=\frac{mv_0\vec{\jmath}}{2m}=\frac{v_0}{2}\vec{\jmath}](/wiki/images/math/8/b/6/8b6257d3d07883621746b980e2416a9d.png)
3 Momento cinético
3.1 Respecto al CM
El momento cinético respecto al CM lo podemos calcular considerando el CM como un punto fijo o como un punto móvil. En ambos casos el resultado es el mismo.
3.1.1 Como un punto fijo
La expresión es
![\vec{L}_G=m_A\overrightarrow{GA}\times\vec{v}_A+m_B\overrightarrow{GB}\times\vec{v}_B=m\left(-\frac{b}{2}\vec{\imath}\right)\times \vec{0}+m\left(\frac{b}{2}\vec{\imath}\right)\times (v_0\vec{\jmath})=\frac{mbv_0}{2}\vec{k}](/wiki/images/math/7/e/7/7e7930ec4eaebff2d0ed9860522e2bfe.png)
3.1.2 Como punto móvil
Alternativamente, podemos calcular primero las velocidades respecto al CM
![\vec{v}^{\prime}_A=\vec{v}_A-\vec{v}_G=-\frac{v_0}{2}\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{v}^{\prime}_B=\vec{v}_B-\vec{v}_G=+\frac{v_0}{2}\vec{\jmath}](/wiki/images/math/6/1/d/61dfe6c7c6069d01f411be7af459809c.png)
y calcular el momento cinético empleando estas velocidades
![\vec{L}^{\prime}_G=m_A\overrightarrow{GA}\times\vec{v}^{\prime}_A+m_B\overrightarrow{GB}\times\vec{v}^{\prime}_B=m\left(-\frac{b}{2}\vec{\imath}\right)\times \left(-\frac{v_0}{2}\vec{\jmath}\right)+m\left(\frac{b}{2}\vec{\imath}\right)\times \left(+\frac{v_0}{2}\vec{\jmath}\right)=\frac{mbv_0}{2}\vec{k}](/wiki/images/math/e/6/9/e69f13cc8fc327643f4cb471a3ef881e.png)
3.1.3 Empleando el momento de inercia
Alternativamente, puede calcularse el momento cinético como
![\vec{L}_G=I\vec{\omega}](/wiki/images/math/0/9/3/0933eb2954df7b33518e8817659e0fc0.png)
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla por el CM es
![I=m_A d_A^2+m_B d_B^2 = m\left(\frac{b}{2}\right)^2+m\left(\frac{b}{2}\right)^2=\frac{mb^2}{2}](/wiki/images/math/1/7/b/17b04ce70f47d0f32b66e7c5f5765048.png)
y la velocidad angular la sacamos de
![v_0\vec{\jmath}=\vec{v}_B=\vec{v}_A+\omega\vec{k}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}+\omega \vec{k}\times(b\vec{\imath})\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}=\frac{v_0}{2}\vec{k}](/wiki/images/math/c/5/7/c574bf029f363dd9b52036c6bf70af9f.png)
Resulta el momento cinético
![\vec{L}_G=I\vec{\omega}=\left(\frac{mb^2}{2}\right)
\left(\frac{v_0}{2}\vec{k}\right)=\frac{mbv_0}{2}\vec{k}](/wiki/images/math/6/f/6/6f6caa468708cbe21f0e6b2f6ebbc61b.png)
3.2 Respecto a un punto fijo
Para cualquier otro punto, puede hallarse a partir de la suma de los de las dos masas
![\vec{L}_O=m_A\overrightarrow{OA}\times\vec{v}_A+m_B\overrightarrow{OB}\times\vec{v}_B](/wiki/images/math/9/f/1/9f1e789d2344e956ffbf82213225180a.png)
o bien empleando el teorema de König
![\vec{L}_O=m_T\overrightarrow{OG}\times\vec{v}_G+\vec{L}_G\qquad\qquad (m_T=2m)](/wiki/images/math/9/1/1/911dee9331a9a2466b8171cfa699bdd0.png)
Así, para el propio extremo A,
![\vec{L}_A=m(b\vec{\imath})\times(v_0\vec{\jmath})=mbv_0\vec{k}](/wiki/images/math/8/b/3/8b3ab808599fe04bcdb86908d392ee08.png)
Empleando aquí el teorema de König
![\vec{L}_A=(2m)\left(\frac{b}{2}\vec{\imath}\right)\times\left(\frac{v_0}{2}\vec{\jmath}\right)+\frac{mbv_0}{2}\vec{k}=mbv_0\vec{k}](/wiki/images/math/0/1/c/01c7b30ab63c4a7d00f66c747f8a2e88.png)
4 Energía cinética
La energía cinética la podemos hallar a partir de las de las partículas
![K=\frac{1}{2}m_A|\vec{v}_A|^2+\frac{1}{2}m_B|\vec{v}_B|^2=\frac{1}{2}mv_0^2](/wiki/images/math/2/d/b/2db3be7ebc86631d1072c0e645accb13.png)
o empleando el teorema de König
![K=\frac{1}{2}m_T|\vec{v}_G|^2+\frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2=\frac{1}{2}(2m)\left(\frac{v_0}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{mb^2}{2}\right)\left(\frac{v_0}{b}\right)=\frac{mv_0^2}{4}+\frac{mv_0^2}{4}=\frac{mv_0^2}{2}](/wiki/images/math/c/4/e/c4e5ed4b52179c8936ee882a3f8be8c6.png)
Vemos que en este caso la energía se reparte mitad y mitad en traslación y rotación.
También se puede hallar la energía cinética a partir de la cantidad de movimiento y del momento cinético
![K=\frac{1}{2}\vec{p}\cdot\vec{v}_G+\frac{1}{2}\vec{L}_G\cdot\vec{\omega}](/wiki/images/math/8/1/6/81662947890e484a6e21d60a0d2db27e.png)
Esta expresión se puede aplicar respecto a cualquier punto, no solo el CM. Así, empleando el punto AB
![K=\frac{1}{2}\vec{p}\cdot\vec{v}_A+\frac{1}{2}\vec{L}_A\cdot\vec{\omega}=\frac{1}{2}(mv_0\vec{\jmath})\cdot\vec{0}+\frac{1}{2}(mbv_0\vec{k})\cdot(\frac{v_0}{b}\vec{k})=\frac{1}{2}mv_0^2](/wiki/images/math/6/8/d/68da52b0a357a7aed05d82b6beea1ad9.png)
5 Movimiento posterior
Si no hay ninguna fuerza actuando sobre el sistema, se conserva la cantidad de movimiento y el momento cinético (y, por tanto, la energía cinética).
Esto implica que la velocidad del CM permanece constante, describiendo un movimiento rectilíneo y uniforme.
La velocidad angular también permanece constante, por lo que la varilla gira uniformemente.
El resultado, para cada una de las masas, es que el movimiento es una combinación de rotación y traslación, resultando un movimiento cicloidal.
![Imagen:barrarotante.gif](/wiki/images/6/6d/Barrarotante.gif)