Momento cinético de una partícula

De Laplace

Contenido

1 Definición
2 Teorema de conservación
3 Conservación parcial del momento cinético

1 Definición

Se define el momento cinético (o momento angular) de una partícula respecto a un punto O como la cantidad

$\mathbf{L}_O=m\overrightarrow{OP}\times\mathbf{v}^P$

o, más sencillamente

$\mathbf{L}_O = m \mathbf{r}\times\mathbf{v}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}\,$

donde hay que entender que el vector de posición se mide respecto al punto O. Si queremos medir el momento angular respecto a un punto B el momento cinético cambia correspondientemente

$\mathbf{L}_{B}=\mathbf{L}_0+\mathbf{p}\times\overrightarrow{OB}$

De la definición de momento cinético resulta proporcionalidad a la velocidad areolar

$\mathbf{L}_O=2m\mathbf{V}_A\,$

y por tanto la constancia del momento cinético equivale a la de la velocidad areolar.

2 Teorema de conservación

Derivando el momento cinético respecto al tiempo

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}=\overbrace{\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}}^{=0}\mathbf{r}\times\mathbf{v}+m\overbrace{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}^{=\mathbf{v}}\times\mathbf{v}+m\mathbf{r}\times\overbrace{\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}}^{=\mathbf{a}}=m\overbrace{\mathbf{v}\times\mathbf{v}}^{=\mathbf{0}}+m\mathbf{r}\times\mathbf{a}$

El producto $m\mathbf{a}$ es la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula, por tanto

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{M}_O$

Por tanto, la derivada respecto al tiempo del momento cinético respecto a un punto es igual al momento, respecto al mismo punto, de las fuerza neta que actúa sobre dicha partícula. Esto ocurrirá cuando la fuerza sea nula o cuando sea paralela al vector de posición (fuerza central). Por ello, podemos enunciar el teorema de conservación en la forma

“Si la fuerza neta que actúa sobre una partícula P es nula o es central con centro en un punto fijo O durante un cierto intervalo de tiempo, el momento cinético de la partícula respecto al punto O se mantiene constante durante dicho intervalo.”

2.1 Caso de una fuerza nula

Si $\mathbf{F} = \mathbf{0}$ el momento de la fuerza es naturalmente nulo y el momento angular es constante.

Podemos demostrar su constancia explícitamente. En ausencia de fuerza neta, una partícula sigue un movimiento rectilíneo y uniforme

$\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_0t$ $\mathbf{v}=\mathbf{v}_0$

Hallando el momento angular en cada instante

$\mathbf{L}_O=m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=m(\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_0t)\times\mathbf{v}_0=m\mathbf{r}_0\times\mathbf{v}_0$

ya que el producto vectorial de $\mathbf{v}_0$ por sí mismo se anula. La última cantidad ya no depende del tiempo, sino que es el valor inicial del momento cinético y por tanto éste es constante. El módulo de este momento cinético es

$|\mathbf{L}_O|= mr_0v_0\,\mathrm{sen}(\alpha) = mbv_0$

siendo $b$ el llamado parámetro de impacto: la mínima distancia del origen O a la que pasa la trayectoria rectilínea.

2.2 Caso de una fuerza central

Si la fuerza es todo momento paralela al vector de posición respecto al punto O, el producto vectorial $\mathbf{r}\times\mathbf{F}$ es nulo y el momento cinético respecto al punto O es constante

$\mathbf{M}_O = \mathbf{0}\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{L}_O=\mathrm{cte}\,$

Obsérvese que esta conservación sólo se aplica al momento cinético calculado respecto al centro de fuerzas. Para cualquier otro punto, el momento cinético no será constante.

Existen importantes ejemplos en física de fuerzas centrales y que por tanto satisfacen la conservación del momento cinético:

2.2.1 Ley de Hooke

Una fuerza $\mathbf{F}=-k\mathbf{r}$ es evidentemente paralela a $\mathbf{r}$ y el momento cinético respecto al punto de equilibrio se conserva. Podemos demostrarlo explícitamente. la ley horaria general de un oscilador armónico es

$\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0\cos(\omega t)+\frac{\mathbf{v}_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)$ $\mathbf{v}(t) = -\mathbf{r}_0\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)+\mathbf{v}_0\cos(\omega t)$

Hallando el momento cinético

$\mathbf{L}_O=m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=m\left(\mathbf{r}_0\cos(\omega t)+\frac{\mathbf{v}_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)\right)\times\left(-\mathbf{r}_0\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)+\mathbf{v}_0\cos(\omega t)\right) =$ $m\mathbf{r}_0\times\mathbf{v}_0\left(\cos^2(\omega t)+\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\right) = m\mathbf{r}_0\times\mathbf{v}_0$

resultando una constante igual al valor inicial del momento cinético.

En el caso general, el movimiento de un oscilador armónico es una elipse. La conservación del momento cinético (y por tanto de la velocidad areolar) establece que cuando la partícula se encuentra en el punto más alejado (el semieje mayor) la celeridad es mínima y cuando se encuentra más próxima (en el semieje menor) su velocidad es máxima, cumpliéndose que $a v 1 = b v 2$ .

2.2.2 Ley de Gravitación universal

La atracción de un cuerpo por otro de gran masa, que puede considerarse fijo en el espacio, verifica aproximadamente la ley de la Gravitación Universal

$\mathbf{F}=-\frac{GMm}{r^2}\mathbf{u}_r$

Esta fuerza es también central y por tanto el momento cinético de un planeta en su órbita alrededor del Sol, respecto al Sol, es constante. Dada la proporcionalidad con la velocidad areolar, esto lleva a la Segunda Ley de Kepler:

“El radio vector de un planeta respecto al sol barre áreas iguales en tiempos iguales”

Por ello, la Tierra se mueve más rápido en invierno (en el hemisferio norte), en que el planeta pasa más cerca del Sol, que en verano, cuando se encuentra más alejado (por ello el intervalo entre el equinoccio de primavera, 21 de Marzo, y el de otoño, 23 de Septiembre, es 7 días más largo que el intervalo entre el equinoccio de otoño y el de primavera; el verano es más largo que el invierno)

El peso de un cuerpo en la superficie terrestre, en cambio, no verifica la conservación del momento cinético. Para un tiro parabólico desde el origen tenemos

$\mathbf{r}=\mathbf{v}_0t+\frac{1}{2}\mathbf{g}t^2$ $\mathbf{v}=\mathbf{v}_0+\mathbf{g}t$

y el momento cinético es

$\mathbf{L}_O= m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=\frac{m\mathbf{v}_0\times\mathbf{g}}{2}t\neq\mathrm{cte}$

que no es constante, salvo en el caso en que la velocidad inicial y el peso sean paralelos (movimiento vertical).

Puede parecer raro que, si el peso es una manifestación de la fuerza gravitatoria no conserve el momento cinético. La razón es que, en el caso del peso, no estamos calculando el momento cinético respecto al centro de la fuerza (que sería el centro de la tierra), sino respecto a un punto de la superficie.

2.3 Movimiento circular

El momento cinético a menudo se comporta como el análogo respecto a rotaciones de la cantidad de movimiento respecto a traslaciones. Esto es, si ésta de algún modo mide la “cantidad de traslación”, el momento cinético mediría la “cantidad de rotación”. Uno de los casos en que se puede emplear esta analogía es en el caso del movimiento circular.

Supongamos una partícula que se ve obligada a moverse sobre una circunferencia de radio $R$ , de modo que su posición en todo momento es, empleando coordenadas polares,

$\mathbf{r}=\overbrace{\rho}^{=R}\mathbf{u}_\rho=R\mathbf{u}_\rho$

y su velocidad

$\mathbf{v}=\overbrace{\dot{\rho}}^{=0}\mathbf{u}_\rho+\overbrace{\rho}^{=R}\dot{\theta}\mathbf{u}_\theta=R\dot{\theta}\mathbf{u}_\theta$

Su momento cinético respecto al centro de la circunferencia será

$\mathbf{L}_O=m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=mR^2\dot{\theta}\mathbf{k}$

siendo $\mathbf{k}$ el vector unitario normal al plano.

Para esta partícula el momento cinético es proporcional a la velocidad angular $\mathbf{w}=\dot{\theta} \mathbf{k}$ (siendo la constante de proporcionalidad $m R 2$ el llamado momento de inercia).

El momento cinético respecto al centro de una partícula en movimiento circular será constante cuando ésta realice un movimiento de rotación uniforme.

3 Conservación parcial del momento cinético

Existen ocasiones, como en el caso del peso mencionado anteriormente, en que el momento cinético no se conserva. Sin embargo, incluso en esos casos es a menudo obtener una ley de conservación más restringida.

Para ello, tenemos en cuenta que el momento cinético es un vector y posee tres componentes. Puede ocurrir que aunque el vector como tal no sea constante, una de sus componentes sí lo sea. Sea $\mathbf{u}$ un vector unitario fijo. La componente del momento angular según la dirección de $\mathbf{u}$ es

$L_{u}=\mathbf{L}_O\cdot\mathbf{u}\,$

Derivando aquí respecto al tiempo

$\frac{\mathrm{d}L_u}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}\cdot\mathbf{u}=\mathbf{M}_O\cdot\mathbf{u}=M_u$

Si se anula la componente en la dirección de $\mathbf{u}$ del momento de las fuerzas aplicadas, la componente del momento cinético en dicha dirección permanece constante.

Esto ocurre, en particular, si la fuerza mantiene una dirección constante. Por ejemplo, el peso puede escribirse como $\mathbf{P}=-mg\mathbf{k}$ . En este caso

$M_z = \mathbf{M}_O\cdot\mathbf{k}=\left(\mathbf{r}\times(-mg\mathbf{k})\right)\cdot\mathbf{k}=0$

ya que el producto vectorial es perpendicular a la fuerza, esto es, al eje Z. Por tanto, una partícula sometida únicamente a la acción de su peso mantiene constante la componente $z$ de su momento cinético.

En la misma línea, pero un poco más complicado, es el caso del péndulo cónico. Este es un péndulo simple normal, pero que en lugar de limitarse a oscilar en un plano se le permite que se mueva también lateralmente, resultando en una trayectoria más o menos elíptica. La lenteja del péndulo está sometida a dos fuerzas: su peso y la tensión de la cuerda. La tensión de la cuerda va en la dirección del hilo, es central con centro el punto de anclaje del hilo y por ello su momento es nulo. En particular, la componente $z$ de este momento será nula. El peso es siempre vertical y por ello, la componente $z$ del momento del peso es también nula, esto es

$\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=\left(\mathbf{r}\times\mathbf{T}\right)_z +\left(\mathbf{r}\times\mathbf{P}\right)_z = 0 + 0=0$ $\Rightarrow$ $L_z=\mathrm{cte}\,$

y el péndulo cónico se mueve de forma que la componente $z$ de su momento cinético respecto al punto de anclaje permanece constante.

Momento cinético de una partícula

De Laplace

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1 Definición

2 Teorema de conservación

2.1 Caso de una fuerza nula

2.2 Caso de una fuerza central

2.2.1 Ley de Hooke

2.2.2 Ley de Gravitación universal

2.3 Movimiento circular

3 Conservación parcial del momento cinético

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