Medida del momento dipolar de un imán, F2 GIA (Jun, 2013)

De Laplace

1 Enunciado

Para medir el módulo

μ m

del momento dipolar magnético $\vec{\mu}_\mathrm{m}$ de un pequeño imán, se diseña un sistema consistente en un dinamómetro de torsión y una espira circular de radio $R=20\,\mathrm{cm}$ y gran sección, por la que pueden circular corrientes de mucha intensidad. Colocado el imán en el centro de la espira, fijado al dinamómetro, éste permite medir el momento o par de fuerzas aplicadas al imán, que puede ser considerado un ente puntual. Se comprueba que cuando el imán se encuentra con su eje S-N contenido en el plano de la espira (ver figura), y por ésta circula una intensidad de $141\,\mathrm{A}$ , el par de fuerzas que actúa sobre el imán es $|\vec{\tau}|=0.1\,\mathrm{N}\mathrm{cm}$ . ¿Cuánto vale el momento dipolar magnético del imán?

2 Solución

En el enunciado se indica que las dimensiones del imán son lo suficientemente pequeñas en comparación con el radio

R

de la espira, como para poder considerar aquél como un ente puntual situado en el centro

O

de la espira. En consecuencia, si en dicho punto existe un campo magnético $\mathbf{B}(O)$ , creado por la corriente eléctrica que recorre la espira, se ejercerá un momento o par de fuerzas $\vec{\tau}$ , tal que:

$\vec{\tau}\rfloor_{{}_O}=\vec{\mu}_\mathrm{m}\times\mathbf{B}(O)$

siendo $\vec{\mu}_\mathrm{m}$ el momento dipolar magnético. Así, cuando esta magnitud vectorial, característica del imán, no esté alineada con el campo magnético, el par $\vec{\tau}$ será no nulo, e intentará forzar dicha alineación.

Tomemos un sistema de referencia cuyo origen se halle en el punto $O$ , con el eje $O X$ en la dirección perpendicular al plano que contiene la espira y con el sentido definido por el de circulación de la corriente eléctrica que recorre aquélla. Usando la expresión del campo magnético creado en el eje de una espira circular, y particularizando al centro de ésta, se obtiene:

$\mathbf{B}(O)=\frac{\mu_0\!\ I}{2\!\ R}\!\ \mathbf{i}$

Por otra parte, el imán está conectado a un dispositivo que fuerza a que su eje S-N se halle alineado con un diámetro de la espira. Si tomamos como eje $O Z$ la dirección de dicho diámetro, las expresiones analíticas del momento dipolar magnético del imán y del par de fuerzas que actúa sobre el serán:

$\vec{\mu}_\mathrm{m}=|\vec{\mu}_\mathrm{m}|\!\ \mathbf{k}\quad\Longrightarrow\quad \vec{\tau}\rfloor_{{}_O}=\vec{\mu}_\mathrm{m}\times\mathbf{B}(O)=\frac{\mu_0\!\ I}{2\!\ R}\!\ |\vec{\mu}_\mathrm{m}|\!\ \big(\mathbf{k}\times\mathbf{i}\big)=|\vec{\tau}|\!\ \mathbf{j}$

Y utilizando este último resultado, puede determinarse el módulo del momento dipolar magnético del imán, a partir de la intensidad $I$ de la corriente que recorre la espira, el radio $R$ de ésta y el par de fuerzas $|\vec{\tau}|$ ejercido por el campo magnético sobre el imán y medido por el dinamómetro: