De Laplace

1 Enunciado

Una masa $M$ se encuentra sobre una balanza de resorte. Ambos objetos están dentro de un ascensor. ¿Qué fuerza mide la balanza cuando el ascensor tiene una aceleración $a 0$ vertical? La gravedad actúa en dirección vertical con sentido hacia abajo.

2 Solución

Las fuerzas que actúan sobre la masa son su peso y la fuerza que ejerce la balanza sobre ella. Escogiendo el eje $Z$ en dirección vertical apuntando hacia arriba los vectores aceleración de la masa y aceleración de la gravedad son

$\vec{a} = a_0\,\vec{k}, \qquad \qquad \vec{g}=-g\,\vec{k}.$

Las fuerzas que actúan sobre la masa son

$\vec{P}=-mg\,\vec{k}, \qquad\qquad \vec{F}_{b\to m} = F_b\,\vec{k}.$

Aplicando la Segunda ley de Newton tenemos

$m\vec{a} = \vec{P} + \vec{F}_{b\to m}.$

La medida de la balanza es el módulo de $\vec{F}_{b\to m}$ , pues, por la Tercera Ley de Newton, esa es la fuerza que la masa ejerce sobre la balanza. Despejando tenemos

$\vec{F}_{b\to m} = m\vec{a} - \vec{P} = m(a_0 + g)\,\vec{k}.$

La lectura de la balanza es

$|\vec{F}_{b\to m}| = m(a_0+g)$

Veamos algunas situaciones interesantes:

A: $a 0 = 0$ : En esta situación el ascensor se mueve con velocidad uniforme. Por tanto, es un sistema de referencia inercial. La lectura de la balanza es $|\vec{F}_{b\to m}|=mg = P$ , es decir, el peso de la masa. Es la misma que si la masa y la balanza estuvieran en reposo en el suelo, en un sistema de referencia inercial en reposo absoluto. Esto se debe a que todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes.

B: $a 0 > 0$ : Ahora la aceleración del ascensor apunta hacia arriba. Tenemos $|\vec{F}_{b\to m}|=m(g+a_0) > P$ . La lectura de la balanza es mayor que el peso. Ahora el ascensor no es un sistema de referencia inercial.

C: $a 0 < 0$ : Ahora la aceleración del ascensor apunta hacia abajo. Tenemos $|\vec{F}_{b\to m}|=m(g- |a_0|) < P$ . La lectura de la balanza es menor que el peso. Si $| a 0 | = g$ no hay fuerza de contacto entre la balanza y la masa. Esta situación ocurre cuando el ascensor está en caída libre, por ejemplo si se rompe el cable y no hay sistema de frenado.

¿Qué ocurre cuando nos montamos en un ascensor? Supongamos que estamos en la planta baja y queremos subir a una planta muy alta de un edificio. Cuando el ascensor arranca estamos en la situación $B$ y nos sentimos mas pesados. Llega un momento que el ascensor se mueve con velocidad uniforme, y entramos en la situación $A$ . No sentimos nada diferente a lo que sentiríamos en el suelo. Por último, antes de llegar a la planta de destino el ascensor empieza a decelerar y estamos en la situación $C$ . Sentimos que pesamos menos.

Masa sobre una balanza de resorte en un ascensor

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