De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una barra homogénea (sólido "0") de longitud $\sqrt{2}L$ tiene un extremo articulado en el punto fijo $O$ . En el otro extremo, $A$ , se articula otra barra homogénea de longitud $2\sqrt{2}L$ (sólido "2"). El punto medio de esta barra se articula a su vez en un pasador (punto $B$ ), de modo que este punto de la barra se mueve sobre el eje $O 1 X 1$ . La barra "0" gira alrededor del eje $O 1 Z 1$ con velocidad angular uniforme $Ω$ . Todas las magnitudes físicas que se piden corresponden al instante que se muestra en la figura.

Localiza gráfica y analíticamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos que se pueden definir en el sistema.
Encuentra reducciones cinemáticas de los tres movimientos relativos. Calcula $\vec{v}^{\,C}_{21}$ .
Calcula la derivada temporal de la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto $B$ .

2 Solución

2.1 Análisis previo

Del enunciado y la figura podemos deducir la siguiente información cinemática

Todos los movimientos son planos, por lo que todos los vectores de rotación son paralelos al vector $\vec{k}$ .
El punto $O 1$ de la barra "0" es un punto fijo siempre: $\vec{v}^{\,O_1}_{01}=\vec{0}$ y $\vec{a}^{\,O_1}_{01}=\vec{0}$ .
Las barras "2" y "0" están articuladas en el punto $A$ en todo instante: $\vec{v}^{\,A}_{20}=\vec{0}$ y $\vec{a}^{\,A}_{20}=\vec{0}$ .
La velocidad de rotación absoluta de la barra "0" es constante: $\vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}$ y $\vec{\alpha}_{01}=\vec{0}$ .
El punto $B$ de la barra "2" se mueve siempre sobre el eje $O 1 X 1$ : $\vec{v}^{\,B}_{21} \parallel \vec{\imath}_1$ y $\vec{a}^{\,B}_{21} \parallel \vec{\imath}_1$ .

2.2 Localización de los C.I.R.

Del análisis previo deducimos inmediatamente

$\begin{array}{l} I_{01}\equiv O_1 \to \overrightarrow{O_1I}_{01} = \vec{0},\\ \\ O_{20}\equiv A \to \overrightarrow{O_1I}_{20} = \overrightarrow{O_1A} = L\,\vec{\imath}_1 + L\,\vec{\jmath}_1. \end{array}$

Para encontrar $I 21$ usamos primero que $\vec{v}^{\,B}_{21}\parallel\vec{\imath}_1$ . Entonces $I 21$ debe estar en la línea perpendicular a $\vec{v}^{\,B}_{21}$ trazada por $B$ . Por otro lado, por el Teorema de los Tres Centros, $I 21$ debe estar también el la línea que une $I 01$ y $I 20$ . El corte de las dos líneas da la posición de $I 21$ . Como se observa en la figura tenemos

$\overrightarrow{O_1I}_{21} =2L\,\vec{\imath}_1 + 2L\,\vec{\jmath}_1.$

Hemos usado que todos los triángulos son rectángulos e isósceles.

2.3 Reducciones cinemáticas

La clave para resolver este apartado es que podemos calcular fácilmente la reducción cinemática {01} en el punto $O 1$ . A partir de ahí, podemos calcular $\vec{v}^{\,A}_{21}$ usando composición de velocidades y usamos el hecho de que conocemos la dirección de $\vec{v}^{\,B}_{21}$ .

2.3.1 Movimiento {01}

Del análisis previo obtenemos inmediatamente

$\vec{v}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}.$

2.3.2 Movimiento {20}

Del análisis previo obtenemos $\vec{v}^{\,A}_{20}=\vec{0}$ , pero no sabemos el vector rotación. Sólo sabemos que podemos escribirlo como

$\vec{\omega}_{20} = \omega_{20}\,\vec{k}.$

2.3.3 Movimiento {21}

En este punto sólo podemos escribir esto

$\vec{v}^{\,B}_{21} = v\,\vec{\imath}_1, \qquad \vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{k}.$

Usando la composición ${21} = {20} + {01}$ podemos calcular $\vec{v}^{\,A}_{21}$

$\begin{array}{ll} \vec{v}^{\,A}_{21} & = \vec{v}^{\,A}_{20} + \vec{v}^{\,A}_{01}= -L\Omega\,\vec{\imath}_1 + L\Omega\,\vec{\jmath}_1 \\ & \\ &\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0}\\ & \\ &\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,O_1} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA} = -L\Omega\,\vec{\imath}_1 + L\Omega\,\vec{\jmath}_1. \end{array}$

El vector $\vec{v}^{\,B}_{21}$ puede calcularse también usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}

$\begin{array}{ll} \vec{v}^{\,B}_{21} & = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB} =L(\omega_{21}-\Omega)\,\vec{\imath}_1 + L(\omega_{21}+ \Omega)\,\vec{\jmath}_1 \\ & \\ &\vec{v}^{\,A}_{21} = -L\Omega\,\vec{\imath}_1 + L\Omega\,\vec{\jmath}_1 \\ & \\ &\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB} = (\omega_{21}\vec{k})\times(L\,\vec{\imath}_1-L\,\vec{\jmath}_1) = L\omega_{21}\,\vec{\imath}_1 + L\omega_{21}\,\vec{\jmath}_1 \end{array}$

La componente en $\vec{\jmath}_1$ tiene que ser nula, por tanto

$ω 21 = - Ω$

Y podemos obtener $\vec{\omega}_{20}$ usando la ley de composiciones de velocidades angulares

$\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} \Longrightarrow \vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = -2\Omega\,\vec{k}.$

Por tanto, las reducciones cinemáticas pedidas son

$\begin{array}{lll} \{01\}: & \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}, & \vec{v}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}\\ \\ \{20\}: & \vec{\omega}_{20} = -2\Omega\,\vec{k}, & \vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0}\\ \\ \{21\}: & \vec{\omega}_{21} = -\Omega\,\vec{k}, & \vec{v}^{\,B}_{21} = -2L\Omega\,\vec{\imath}_1 \end{array}$

La velocidad absoluta en $C$ la calculamos como

$\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC} = -3L\Omega\,\vec{\imath}_1 - 2L\Omega\,\vec{\jmath}_1$

Hemos usado $\overrightarrow{BA} = L\,\vec{\imath}_1 - L\Omega,\vec{\jmath}_1$ .

2.4 Derivada de la reducción cinemática {21}

Este apartado se resuelve de manera similar al anterior, pero ahora con las leyes de composición de aceleraciones.

El enunciado nos dice que $Ω$ es constante, por tanto

$\vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}.$

Del análisis previo tenemos $\vec{a}^{\,O_1}_{01}=\vec{0}$ y $\vec{a}^{\,A}_{20}=\vec{0}$ . Usando el Teorema de Coriolis en $A$

$\begin{array}{ll} \vec{a}^{\,A}_{21}& = \vec{a}^{\,A}_{20} + \vec{a}^{\,A}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,A}_{20} = -L\Omega^2\,\vec{\imath}_1 - L\Omega^2\,\vec{\jmath}_1\\ & \\ & \vec{a}^{\,A}_{20} = \vec{0}\\ &\\ & \vec{a}^{\,A}_{01} = \vec{a}^{\,O_1}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1A} - |\vec{\omega}_{01}|^2\overrightarrow{O_1A} = -L\Omega^2\,\vec{\imath}_1 - L\Omega^2\,\vec{\jmath}_1\\ &\\ &\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0} \end{array}$

Escribimos la aceleración angular absoluta como

$\vec{\alpha}_{21} = \alpha_{21}\,\vec{k}.$

Aplicando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento plano {21} tenemos

$\begin{array}{ll} \vec{a}^{\,B}_{21}& = \vec{a}^{\,A}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{AB} - |\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{AB} = L\,(\alpha_{21}-2\Omega^2)\,\vec{\imath}_1 + L\alpha_{21}\,\vec{\jmath}_1\\ & \\ & \vec{a}^{\,A}_{21} = -L\Omega^2\,\vec{\imath}_1 - L\Omega^2\,\vec{\jmath}_1\\ &\\ & \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{AB} = L\alpha_{21}\,\vec{\imath}_1 + L\alpha_{21}\,\vec{\jmath}_1\\ &\\ & |\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{AB} = L\Omega^2\,\vec{\imath}_1 - L\Omega^2\,\vec{\jmath}_1 \end{array}$

Como la componente en $\vec{\jmath}_1$ debe anularse, tenemos

$α 21 = 0$

Entonces

$\vec{a}^{\,B}_{21} = -2L\Omega^2\,\vec{\imath}_1, \qquad \vec{\alpha}_{21} = \vec{0}.$

Manivela y biela alargada, Enero 2018 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Análisis previo

2.2 Localización de los C.I.R.

2.3 Reducciones cinemáticas

2.3.1 Movimiento {01}

2.3.2 Movimiento {20}

2.3.3 Movimiento {21}

2.4 Derivada de la reducción cinemática {21}

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