Inducción magnética FII GIA

De Laplace

Contenido

1 Introducción
2 Flujo magnético
- 2.1 Espira en un campo magnético uniforme
3 Fem inducida: Ley de Faraday
4 Ley de Lenz
5 Fem de movimiento
6 Corrientes de Foucault
7 Transformadores
8 Inductancia
- 8.1 Autoinducción
- 8.2 Inducción mutua
9 Energía magnética

1 Introducción

Hemos visto campos eléctricos estáticos creados por cargas eléctricas en reposo, y campos magnéticos estáticos creados por corrientes estacionarias. Hasta ahora los fenómenos eléctricos y magnéticos han estado desacoplados. Esto quiere decir que no hemos visto fenómenos en que un campo eléctrico interfiera con un magnético y viceversa.

Esto cambia cuando se consideran situaciones en que los campos cambian en el tiempo. Estudiaremos primero el fenómeno de la inducción magnética, en el que un campo magnético variable en el tiempo genera un campo eléctrico.

Este fenómeno fue descubierto en 1831 independientemente por Michael Faraday(1791-1867) en Inglaterra y Joseph Henry(1797-1878) en Estados Unidos.

Faraday y Henry descubrieron que un campo magnético variable en el tiempo puede generar una corriente eléctrica en un conductor. Esto significa que un campo magnético variable genera un campo eléctrico. Este campo eléctrico no es electrostático, es decir, no está generado por cargas eléctricas. Como consecuencia, no es conservativo.

El fenómeno de inducción magnética tiene innumerables aplicaciones tecnológicas. Casi toda la generación de electricidad usa este efecto. Los motores eléctricos y los transformadores funcionan basándose en este fenómeno.

2 Flujo magnético

Dada una superficie en el seno de un campo magnético, el flujo magnético es proporcional al número de líneas de campo magnético que atraviesan esa superficie. Se calcula de manera similar al flujo del campo eléctrico

$\Phi_m = \int\limits_S \vec{B}\cdot\hat{\vec{n}}\,\mathrm{d}A = \int\limits_S B_n\,\mathrm{d}A$

La unidad de flujo magnético es el Weber

$1\,\mathrm{Weber} = 1\,\mathrm{T\cdot m^2}$

2.1 Espira en un campo magnético uniforme

Si tenemos una espira plana, de modo que el vector normal a ella forma un ángulo $θ$ con el campo magnético uniforme, el flujo a través de la espira es

$\Phi_m = \vec{B}\cdot\hat{\vec{n}}\,A = B\,A\,\cos\theta$

Si en vez de una espira es una bobina con $N$ vueltas, el flujo total es el flujo a través de una vuelta de la bobina multiplicado por el número de vueltas

$\Phi_m = N\,B\,A\,\cos\theta$

3 Fem inducida: Ley de Faraday

Los experimentos muestran que si una espira conductora se encuentra en el seno de un campo magnético que cambia con el tiempo, aparece una corriente en la espira.

Se dice que el campo magnético variable produce una fem inducida.

La ley que da el valor de la fem inducida es la regla del flujo

$\varepsilon = -\dfrac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int\limits_S\vec{B}\cdot\hat{\vec{n}}\,\mathrm{d}A$

$Φ m$ es el flujo del campo magnético que atraviesa una superficie apoyada en la espira. Si la espira es una circunferencia, esta superficie podría ser el círculo definido por la espira.

El sentido negativo se refiere al sentido de la corriente que aparece. Veremos más tarde este sentido al hablar de la Ley de Lenz.

Otra forma de entender esta ley es que la fem inducida se produce al cambiar el número de líneas de campo que atraviesa la superficie definida por la espira. Así es como la formuló Faraday.

El flujo magnético puede variar por diferentes causas:

Si el campo magnético es producido por una corriente, cambia al variar la intensidad de ésta.
Si el campo magnético es producido por un imán, cambia en el tiempo si el imán se desplaza respecto a la espira.
Si el campo magnético no cambia en el tiempo, el flujo puede cambiar porque la espira se mueva, rote o se deforme.

La corriente en la espira implica que debe haber una fuerza que ponga las cargas en movimiento. Esta fuerza no puede ser magnética, pues las cargas en principio están en reposo. Además el campo magnético no puede realizar trabajo sobre las cargas, y la fem empuja las cargas en el circuito compensando la energía perdida por efecto Joule. Las cargas se mueven debido a que aparece un campo eléctrico inducido, $\vec{E}_{ind}$ . Este campo empuja las cargas a lo largo de la espira. La fem inducida es el trabajo por unidad de carga realizado por este campo en toda la espira

$\varepsilon = \oint\limits_{\mathrm{espira}}\dfrac{\vec{F}_q}{q}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \oint\limits_{\mathrm{espira}}\dfrac{q\vec{E}_{ind}}{q}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \oint\limits_{\mathrm{espira}}\vec{E}_{ind}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = -\dfrac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}$

Este campo eléctrico es no conservativo, pues su circulación en un contorno cerrado es no nula. Para producir una corriente que se mantenga en el tiempo el campo no puede ser conservativo.

De hecho, este campo aparece aunque no esté la espira. Podemos imaginar la curva $Γ$ que define la espira, pero sin que esté ella. Si en esa región hay un campo magnético variable, aparece un campo eléctrico de modo que se cumple

$\oint\limits_{\Gamma}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = -\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int\limits_S\vec{B}\cdot\hat{\vec{n}}\,\mathrm{d}A$

La superficie $S$ es una superficie cualquiera que se apoye en el contorno $Γ$ .

4 Ley de Lenz

Esta ley determina el sentido en que aparece la fem inducida y la corriente si hay presente un conductor. Es el signo menos de la regla del flujo. Puede enunciarse así

El sentido de la corriente inducida es tal que el campo magnético asociado a ella se opone a la variación del flujo magnético del campo externo.

Es importante destacar que el campo magnético generado por la corriente inducida se opone a la variación del flujo externo, no al flujo externo.

5 Fem de movimiento

Si una barra conductora se mueve en el seno de un campo magnético uniforme con una velocidad $\vec{v}$ , las cargas libres que están dentro de la barra (los electrones si es metálica) se mueven con ella y, por tanto, tienen una velocidad $\vec{v}$ respecto del campo magnético. Por tanto, el campo magnético ejerce una fuerza sobre cada una de ellas que es

$\vec{F}_q = q(\vec{v}\times\vec{B})$

El sentido de la fuerza depende del signo de las cargas libres. De este modo, la fuerza magnética origina una separación de cargas, de modo que los extremos de la barra adquieren cargas netas de distinto signo. Pero esto a su vez genera un campo eléctrico, que ejerce una fuerza sobre las cargas que se opone a la fuerza magnética.

Cuando se alcanza el equilibrio (muy rápidamente en un conductor), la fuerza neta sobre las cargas es cero. Entonces, en cada punto de la barra se cumple

$\vec{F}_{mag} + \vec{F}_{elec} = \vec{0} \Rightarrow q\vec{E} + q(\vec{v}\times\vec{B})=\vec{0}$

y por tanto

$\vec{E} = -(\vec{v}\times\vec{B})$

Ahora bien, el campo eléctrico origina una diferencia de potencial entre los extremos de la barra. Esta diferencia de potencial es

$V_a - V_b = -\int\limits_b^a\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \int\limits_b^a(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\mathrm{d}\vec{l}$

La integral se hace siguiendo un camino que va desde al punto $b$ al $a$ por dentro de la barra. En este camino, los vectores $\vec{v}\times\vec{B}$ y $\mathrm{d}\vec{l}$ son paralelos. Si la velocidad y el campo magnético son uniformes a lo largo de la barra tenemos

$V_a - V_b = \int\limits_b^a(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\mathrm{d}\vec{l} = v\,B\,l$

siendo $l$ la longitud de la barra.

Inducción magnética FII GIA

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1 Introducción

2 Flujo magnético

2.1 Espira en un campo magnético uniforme

3 Fem inducida: Ley de Faraday

4 Ley de Lenz

5 Fem de movimiento

6 Corrientes de Foucault

7 Transformadores

8 Inductancia

8.1 Autoinducción

8.2 Inducción mutua

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