Independencia de la parametrización

De Laplace

Contenido

1 Introducción
2 Trayectoria
3 Desplazamiento diferencial
4 Parámetro arco
5 Vector tangente
6 Vector binormal
7 Vector normal
8 Radio de curvatura
9 Centro de curvatura

1 Introducción

A la hora de estudiar la cinemática de la partícula, surgen conceptos puramente geométricos que no dependen de la ley horaria del movimiento de una partícula (esto es, de con qué celeridad pasa de un punto a otro). Otros, en cambio, sí dependen. Por ejemplo, la velocidad instantánea es claramente dependiente del estado de movimiento. Sin embargo, el vector tangente a la trayectoria, que nos indica hacia donde se dirige la partícula, y que se calcula a partir de la velocidad instantánea, no depende de si la partícula se mueve lento o rápido. La dirección del movimiento es una propiedad geométrica.

Si lo que tenemos es un movimiento, dado por su ecuación horaria $\vec{r}(t)$ , ¿cómo podemos saber si una propiedad concreta, calculada a partir de ella, es una propiedad geométrica o es dependiente del estado de movimiento?

La respuesta es que hay que establecer si dicha propiedad es independiente de la parametrización. Esto es, nos imaginamos que la partícula recorre los mismos puntos a un ritmo diferente, de forma que la ecuación horaria es ahora $\vec{r}(\theta)$ , siendo $θ$ una nueva variable temporal. Si calculando la propiedad empleando la nueva variable resulta el mismo valor que con la original, entonces es una propiedad geométrica, esto es, no depende de cómo de rápido se recorre la curva.

Por ejemplo, nos imaginamos un transportista que hace regularmente el camino Sevilla-Madrid. Sale todos los días de Sevilla a las 7:00 pero cada día para en estaciones de servicio diferentes, por lo que si un día pasa por Córdoba a las 8:15 (este sería el valor de $t$ ) otro día pasa por la misma ciudad a las 8:45 (este sería el valor de $θ$ ). ¿Cambia la distancia Sevilla-Córdoba por el hecho de la diferente hora de llegada? No. Por tanto es una propiedad geométrica, independiente de la parametrización. ¿Cambia la velocidad media en el trayecto Sevilla-Córdoba? Sí. Por tanto, la velocidad media no es una propiedad geométrica.

Alternativamente, una propiedad que puede calcularse a partir de otras propiedades geométricas es también geométrica. Por ello, otro procedimiento consiste en relacionar las nuevas magnitudes con las previamente conocidas.

En lo que sigue indicaremos las principales propiedades geométricas que aparecen en la cinemática de la partícula.

2 Trayectoria

La trayectoria es, por definición, una propiedad geométrica, independiente de la celeridad.

Se define como el conjunto de puntos del espacio por los que pasa la partícula en su movimiento. Puesto que para analizar la dependencia con el estado de movimiento debemos suponer que se recorren los mismos puntos a ritmo diferente, es inmediato que el conjunto de todos los puntos, que forman la trayectoria, es el mismo para todas las posibles celeridades.

3 Desplazamiento diferencial

El desplazamiento diferencial $\mathrm{d}\vec{r}$ , vector que une dos puntos vecinos a lo largo de la trayectoria, es también una propiedad geométrica, pues la posición de estos puntos vecinos no se ve afectada por la rapidez.

4 Parámetro arco

El parámetro arco o parámetro natural es la distancia medida a lo largo de la trayectoria. Se define mediante la relación diferencial

$\mathrm{d}s = |\mathrm{d}\vec{r}|=v\,\mathrm{d}t$

Puesto que el desplazamiento diferencial es una propiedad geométrica, su módulo también lo es. Por tanto, el parámetro arco es independiente de la parametrización.

En forma integral el parámetro natural viene dado por la integral

$s = s_0 + \int_0^t v\,\mathrm{d}t$

Si en vez de el tiempo del movimiento real de una partícula empleamos cualquier otra variable para describir la curva, el parámetro arco se calculará con la expresión correspondiente

$s = s_0 + \int_0^\theta \left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|\,\mathrm{d}\theta$

5 Vector tangente

El vector tangente a la curva se calcula normalizando la velocidad

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{v} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}t}{|\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}t|}$

la celeridad o rapidez es igual al ritmo de variación del parámetro arco

$v = \left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right| = \frac{|\mathrm{d}\vec{r}|}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$

y por tanto el vector tangente es igual a

$\vec{T}= =\frac{\vec{v}}{v} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s/\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}s}$

Puesto que tanto el numerador como el denominador son propiedades geométricas, su cociente también lo es.

Si parametrizamos la trayectoria con una variable $θ$ , el vector tangente se calcula normalizando la derivada correspondiente

$\vec{T}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s/\mathrm{d}\theta}$

6 Vector binormal

La demostración de que el vector normal es independiente de la parametrización es más complicada, pues implica el uso de segundas derivadas.

El método consiste en usar la regla de la cadena. Tenemos que la velocidad en un movimiento tiene la expresión en componentes intrínsecas

$\vec{v} = v\vec{T}= \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\vec{T}$

Si ahora consideramos un movimiento alternativo, recorrido con una variable $θ$ , la nueva velocidad es

$\vec{v}' = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}\vec{T}$

Si ahora calculamos la aceleración en el movimiento original, derivando otra vez respecto al tiempo y aplicando la regla para la derivada de un producto

$\vec{a}= \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{T}+v\,\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}$

Si aplicamos aquí la regla de la cadena tenemos que

$\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}= \frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}s}\,\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}= v\,\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}s}$

y por tanto

$\vec{a}= \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{T}+v^2\,\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}s}$

Para el movimiento alternativo será, análogamente

$\vec{a}'= \frac{\mathrm{d}\vec{v}'}{\mathrm{d}\theta}= \frac{\mathrm{d}v'}{\mathrm{d}\theta}\vec{T}+{v'}^2\,\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}s}$

Esta aceleración no solo es diferente en módulo de la original, sino que apunta en una dirección diferente en general. Sin embargo, lo importante aquí no es la expresión concreta de los coeficientes, sino el observar que en ambos casos la velocidad va en la dirección del vector tangente y la aceleración es una combinación lineal de éste y el vector ${\mathrm{d}\vec{T}}/{\mathrm{d}s}$ . Por tanto en ambos casos, la velocidad y la aceleración definen el mismo plano (el llamado plano osculador).

El vector binormal, ortogonal al plano definido por la velocidad y la aceleración, es el mismo en ambos casos y constituye una propiedad geométrica. El producto vectorial de la velocidad y la aceleración es

$\vec{v}\times\vec{a} = \left(v\vec{T}\right)\times\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{T}+v^2\,\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}s}\right) = v^3\vec{T}\times\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}s}$

y normalizando este vector

$\vec{B}= \frac{\vec{T}\times(\mathrm{d}\vec{T}/\mathrm{d}s)}{|\vec{T}\times(\mathrm{d}\vec{T}/\mathrm{d}s|}$

Todos los términos que aparecen en esta expresión son geométricos y el resultado también lo es.

7 Vector normal

Si el vector tangente y el binormal son propiedades geométricas, el vector normal, que se puede hallar a partir de ambos como

$\vec{N}=-\vec{T}\times\vec{B}$

es también una propiedad geométrica.

8 Radio de curvatura

El radio de curvatura puede hallarse por la fórmula

$R = \frac{v^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|}$

Sustituyendo el producto vectorial calculado más arriba

$R = \frac{v^3}{v^3 |\vec{T}\times(\mathrm{d}\vec{T}/\mathrm{d}s)|} = \left|\vec{T}\times\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}s}\right|^{-1}$

La expresión final contiene solo cantidades geométricas y por tanto es independiente de la parametrización.

9 Centro de curvatura

El centro de curvatura se define a través de la relación

$\vec{r}_c = \vec{r}+ R\vec{N}$

Puesto que todas las cantidades que aparecen en la definición son puramente geométricas, el resultado también es independiente de la parametrización.

Independencia de la parametrización

De Laplace

Contenido

1 Introducción

2 Trayectoria

3 Desplazamiento diferencial

4 Parámetro arco

5 Vector tangente

6 Vector binormal

7 Vector normal

8 Radio de curvatura

9 Centro de curvatura

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