Guillotina que corta un papel

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Introducción: representación en el sistema S
3 Transformación al sistema S'
- 3.1 Posición del papel
- 3.2 Filo de la guillotina
4 Evolución del corte
5 Parada de la guillotina

1 Enunciado

Supongamos una guillotina en el plano XZ (X el eje horizontal y Z el vertical). La guillotina tiene anchura $L$ y un borde inferior rectilíneo con pendiente $m$ . La guillotina desciende con velocidad constante $u$ . En el plano XY se encuentra una hoja de papel horizontal, también de anchura $L$ y situada justo debajo de la guillotina. La guillotina cae y corta el papel.

Demuestre que para un observador S' que se mueva a lo largo del eje X con velocidad $v$ , el borde de la guillotina puede verse inclinado hacia el lado contrario (esto es, con pendiente negativa).
En el sistema en reposo respecto al papel, éste es cortado de izquierda a derecha (hacia X positivo). En el sistema S' del apartado anterior, ¿en qué sentido se produce el corte?
Supongamos que cuando la guillotina ha cortado la mitad del papel se detiene bruscamente, interrumpiéndose el corte. ¿Qué se aprecia en ese caso en el sistema S'?

2 Introducción: representación en el sistema S

A la hora de representar este problema, pare que necesitamos las cuatro dimensiones del espaciotiempo, ya que tenemos X e Y (donde se encuentra el papel), Z (por donde baja la guillotina) y el tiempo, ya que se trata de un sistema en movimiento. Esto dificulta su representación gráfica.

Sin embargo, es fácil ver que podemos omitir una de las dimensiones espaciales. Al analizar la cinemática del problema, lo único que nos interesa es estudiar lo que ocurre con dos segmentos:

El borde de la guillotina
La línea del papel que es cortada

Todo lo demás es superfluo a la hora de resolver el problema.

Gráficamente, para representar el movimiento de estos segmentos, podemos emplear una película

una superposición de fotogramas

o una representación tridimensional, siendo la tercera dimensión el tiempo. Para ello, apilamos los fotogramas

Puesto que el tiempo es una variable continua, podemos unir las diferentes instantáneas. En esta representación el borde del papel se ve como un rectángulo vertical, mientras que el de la guillotina es uno oblicuo.

Finalmente, prescindimos de los planos horizontales que son las instantáneas y nos queda la intersección de dos polígonos

Si aquí nos quedamos con el plano XT vemos como avanza el corte del papel, como una línea oblicua.

Matemáticamente, los puntos del papel se hallan en

$P(x,0,t)\qquad 0\leq x \leq L\qquad \forall t$

mientras que los del borde de la guillotina que baja con velocidad $u$ y tiene pendiente $m$ se encuentran en

$G(x,mx-ut,t) \qquad 0\leq x \leq L\qquad \forall t$

Los bordes laterales de la guillotina son rectas verticales en este sistema de referencia

$B_0(0,z,t)\qquad z > -ut \qquad\qquad\mbox{y}\qquad\qquad B_L(L,z,t)\qquad z > mL-ut$

El corte del papel se produce mientras que los puntos de la guillotina pasan por z = 0

$mx - u t = 0\qquad\rightarrow\qquad t = \frac{mx}{u}\qquad 0\leq x \leq L$

La velocidad (geométrica) con la que avanza el corte será $u / m$ , que, por ser positiva, va de izquierda a derecha.

3 Transformación al sistema S'

Consideremos ahora un sistema de referencia que se mueve uniformemente en la dirección y dentido del eje OX positivo, con velocidad $v$ . ¿Cómo se ve el proceso de la caída y corte en este sistema?

La relación entre las posiciones en uno y otro sistema pueden relacionarse mediante las transformaciones de Lorentz

$\begin{pmatrix}x' \\ z' \\ t'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & -\gamma v \\ 0 & 1 & 0 \\ -\gamma v & 0 & \gamma \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x \\ z \\ t\end{pmatrix}$

Desarrollando esta operación matricial

$x' = \gamma(x-vt)\qquad \qquad z'= z\qquad\qquad t'=\gamma(t-vx)$

con sus relaciones inversas

$x = \gamma(x'+vt')\qquad \qquad z= z'\qquad\qquad t=\gamma(t'+vx')$

que resultan de cambiar $v$ por $- v$ .

3.1 Posición del papel

En el sistema S', la posición del papel será

$x' = \gamma(x-vt)\qquad z' = 0 \qquad t' = \gamma(t-v x) \qquad 0\leq x\leq L\quad \forall t$

Vemos que sigue en el, plano z=0, pero ahora moviéndose hacia la izquierda. Si ponemos la posición en función del tiempo medido en S' queda

$x = \gamma(x'+vt')\qquad\Rightarrow\qquad x' = \frac{x}{\gamma}-vt'$

Vemos que se desplaza con velocidad v. Los extremos se encuentran en

$x'_0 = -vt'\qquad\qquad x'_L = \frac{L}{\gamma}-vt'$

La distancia entre estos extremos medida en el sistema S'

$\Delta x' = x'_L-x'_0 = \frac{L}{\gamma}$

que es menor que la longitud en reposo $L$ . Esta es la conocida transformación de Lorentz.

3.2 Filo de la guillotina

Operando igualmente con las posiciones del filo de la guillotina obtenemos

$x' = \gamma(x-vt)\qquad\qquad z'=mx-u t \qquad\qquad t' = \gamma(t-vx)$

Para hallar la ecuación para el filo en S' despejamos x y t en función de x' y t' y sustituimos, resultando

$z' = m'x' - u' t'\,$

donde la nueva pendiente y la nueva velocidad de descenso valen

$m' = \gamma(m-uv)\qquad\qquad u' = \gamma(u-mv)$

De este resultado se obtienen dos casos particulares muy llamativos:

La pendiente puede cambiar de signo. Esto quiere decir que en un sistema de referencia la guillotina se ve con su extremo inferior a la derecha y en otro con el extremo inferior a la izquierda. Por ejemplo, para

$v =0.6 \qquad u = 0.8\qquad m = 0.4$

resulta

$\gamma = 1.25\qquad m' = -0.2\qquad\qquad u = 0.7$

La velocidad de descenso puede cambiar de signo. Dependiendo de la velocidad del sistema de referencia es posible que la recta que define el filo se vea ascender. Por ejemplo, para

$v =0.6 \qquad u = 0.8\qquad m = 1.5$

queda

$m'=1.275\qquad u' = -0.125$

4 Evolución del corte

5 Parada de la guillotina

Guillotina que corta un papel

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1 Enunciado

2 Introducción: representación en el sistema S

3 Transformación al sistema S'

3.1 Posición del papel

3.2 Filo de la guillotina

4 Evolución del corte

5 Parada de la guillotina

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