Flujo de líquido por una tubería

De Laplace

1 Enunciado

Por el interior de una tubería cilíndrica de radio $a$ fluye un líquido con una velocidad, dependiente de la distancia al eje, $ρ$ , como

$\mathbf{v} = v_0\left(1-\frac{\rho^2}{a^2}\right)\mathbf{u}_{z}$

El líquido posee una densidad de carga uniforme $ρ 0$ , de forma que la densidad de corriente es $\mathbf{J} = \rho_0\mathbf{v}$ . En el exterior del tubo no hay corriente.

Calcule la intensidad de corriente que atraviesa una sección por la tubería.
Si se desea que por la superficie del tubo circule una corriente superficial $\mathbf{K}$ , de forma que la corriente total sea nula, ¿cuánto debe valer $\mathbf{K}$ ?

2 Intensidad de corriente

La intensidad de corriente es igual al flujo de la densidad de corriente a través de una superficie abierta atravesada por ésta. En este sistema la superficie más adecuada es una sección circular de la tubería, perpendicular a su eje.

En coordenadas cilíndricas esta superficie es $z = z 0 = cte$ , lo que nos da la intensidad

$I = \int_S \mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_0^{2\pi}\int_0^a \left(v_0\left(1-\frac{\rho^2}{a^2}\right)\mathbf{u}_{z}\right)\cdot\left(\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_z\right)$

El producto escalar vale la unidad, pues la corriente y el vector normal a la superficie son vectores paralelos. La integral en $\varphi$ nos da un factor $2π$ , mientras que la integral en $ρ$ es una polinómica. La corriente vale entonces

$I = 2\pi\rho_0v_0 \int_0^a \left(\rho-\frac{\rho^3}{a^2}\right)\,\mathrm{d}\rho = \frac{\pi\rho_0v_0a^2}{2}$

3 Corriente superficial

Si existe una corriente de retorno uniforme

$\mathbf{K}=K_0\mathbf{u}_z\,$

sobre la superficie del tubo, la intensidad de corriente asociada a esta densidad es

$I_1 = \int_\Gamma \mathbf{K}\cdot\mathbf{n}_1\,\mathrm{d}l$

siendo $Γ$ una curva atravesada por la corriente superficial y $\mathbf{n}_1$ un vector unitario normal a la curva $Γ$ y tangente a la superficie por la que fluye la corriente. En nuestro caso lo más simple es tomar $Γ$ como una circunferencia que corta al tubo (el borde del círculo que hemos considerado antes con la corriente de volumen). Para esta curva