F1 GIA PPC 2014, Partícula con movimiento circular sobre un plano

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una partícula $P$ realiza un movimiento circular uniforme. En el instante inicial $t = 0$ se encuentra en el origen $O$ de un sistema de referencia cartesiano $O X Y Z$ . En dicho instante, su velocidad y aceleración instantánea son magnitudes conocidas, descritas respectivamente por los vectores:

$\vec{v}_0 = v_0\,\vec{\jmath}; \qquad \vec{a}_0 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}a_0(-\vec{\imath} + \vec{k})$

Calcule el vector unitario perpendicular al plano $Π$ que contiene a la trayectoria $Γ$ de la partícula.
Calcula el vector que indica la posición del centro $C$ de la trayectoria, respecto al origen $O$ .
Calcula el vector rotación instantánea que caracteriza al movimiento descrito.
¿Cuánto tiempo tarda la partícula en completar una vuelta?

2 Solución

2.1 Vector normal

En un movimiento circular los vectores velocidad y aceleración están en el plano del movimiento. Para conseguir un vector perpendicular hacemos su producto vectorial

$\vec{v}_0\times\vec{a}_0 = \dfrac{v_0a_0}{\sqrt{2}}(\vec{\imath}+\vec{k})$

Para obtener un vector unitario dividimos este vector por su módulo. Obtenemos

$\vec{n} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{\imath}+\vec{k})$

2.2 Posición del centro de la trayectoria

Para llegar desde el punto $O$ hasta el centro de la circunferencia tenemos que mover en la dirección y sentido del vector normal a la trayectoria una distancia igual al radio de curvatura.

Nos dicen que la partícula realiza un movimiento circular uniforme. Entonces el vector aceleración es paralelo al vector normal $\vec{N}$ , es decir

$\vec{a}_N = a_N\,\vec{N}$

Por tanto

$\vec{N} = \dfrac{\vec{a}_0}{|\vec{a}_0|} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(-\vec{\imath} + \vec{k})$

Por otra parte, el radio de la circunferencia es igual al radio de curvatura de la trayectoria. Tenemos

$R = R_{\kappa} = \dfrac{|\vec{v}_0|^2}{a_N} = \dfrac{v_0^2}{|\vec{a}_0|} = \dfrac{v_0^2}{a_0}$

Entonces la posición del centro de la circunferencia viene dada por el vector

$\overrightarrow{OC} = R_{\kappa}\vec{N} = \dfrac{v_0^2}{\sqrt{2}a_0}(-\vec{\imath} + \vec{k})$

2.3 Vector rotación

El vector rotación tiene que ser perpendicular al plano de la trayectoria, es decir

$\vec{\omega} = \omega\,\vec{n}$

Por otro lado, la velocidad en cada instante se puede calcular a partir de $\vec{\omega}$ y el vector de posición respecto del centro de la circunferencia

$\vec{v}_0 = \vec{\omega}\times\overrightarrow{CO} = \left(\omega\,\vec{n}\right)\times\overrightarrow{CO} = \omega\dfrac{v_0^2}{a_0}\,\vec{\jmath}$

Por otro lado el enunciado nos dice

$\vec{v}_0 = v_0\,\vec{\jmath}$

Comparando las dos expresiones tenemos que

$\omega = \dfrac{a_0}{v_0}$

Y el vector rotación es

$\vec{\omega} = \dfrac{a_0}{\sqrt{2}v_0}(\vec{\imath} + \vec{k})$

Otra forma de calcular $ω$ es utilizar el hecho de que los módulos de $\vec{\omega}$ y $\vec{v}_0$ se relacionan a través del radio de la circunferencia

$|\vec{v}_0| = |\vec{\omega}|R_{\kappa} = \dfrac{a_0}{v_0}$

2.4 Tiempo empleado en dar una vuelta

El movimiento circular uniforme es periódico con período

$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi v_0}{a_0}$

F1 GIA PPC 2014, Partícula con movimiento circular sobre un plano

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Vector normal

2.2 Posición del centro de la trayectoria

2.3 Vector rotación

2.4 Tiempo empleado en dar una vuelta

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