F1 GIA PPC 2014, Partícula colgando de dos muelles en ángulo recto

De Laplace

1 Enunciado

Los resortes $A P$ y $B P$ , tienen longitudes naturales $l 1 = 2 a$ y $l 2 = 2 a$ , respectivamente, pero se desconoce el valor de sus correspondientes constantes recuperadoras $k 1$ y $k 2$ . Cada resorte tiene uno de sus extremos conectados a sendos puntos fijos $A$ y $B$ de un plano horizontal, que se hallan separados una distancia de valor $5 a$ . Los extremos libres de los resortes se conectan a una partícula $P$ . La masa de dicha partıcula tiene un valor $m$ tal que el sistema alcanza el equilibrio estático. En dicha situación, se comprueba que las direcciones $A P$ y $B P$ son perpendiculares entre sí y que la $A P$ forma un ángulo $θ$ con la horizontal, tal que su coseno vale $3 / 5$ .

¿Que relación verifican las constantes recuperadoras de los resortes?
Encuentre cuanto vale la masa en función de las constantes de los resortes.

2 Solución

2.1 Fuerzas que actúan sobre la partícula

La partícula está sometida a la acción de tres fuerzas activas: su peso, la del muelle anclado en $A$ y la del muelle anclado en $B$ . Por otro lado, su posición no esta sometida a ninguna restricción, es decir, es libre. Por tanto, no hay fuerzas de reacción vincular. La figura de la derecha indica las fuerzas que actúan sobre la partícula y su dirección.

Vamos a expresar esas fuerzas en función de la posición de la partícula utilizando los ejes indicados en la figura. El peso es

$m\vec{g} = mg\,\vec{\imath}$

Los muelles tienen longitud natural no nula. Para el muelle anclado en $A$ la fuerza puede calcularse como

$\vec{F}_A = -k_1(l_A - l_1)\,\vec{u}_{AP}$

Aquí, $l A$ es la elongación del muelle, y $\vec{u}_{AP}$ es un vector unitario sobre la recta que une los puntos $A$ y $P$ . La elongación del muelle es la longitud del segmento $\overline{AP}$ . Del triángulo rectángulo $A P B$ obtenemos