F1 GIA PPC 2014, Cuerda tirando de una masa

De Laplace

1 Enunciado

Un cuerpo de masa $m=0.51\,\mathrm{kg}$ , que puede ser considerado como partícula, se encuentra en contacto con una superficie plana y horizontal –respecto de la vertical gravitatoria–, sobre la que puede deslizar. El contacto entre el cuerpo y la superficie es rugoso, estando caracterizado por un coeficiente estático de rozamiento de valor $\mu\approx 2.40$ . Mediante un cable o similar, se ejerce sobre el cuerpo una fuerza de módulo constante $F_0=5.00\,\mathrm{N}$ , y en la dirección que forma un ́angulo $θ = π / 6$ con la horizontal. Considérese que el valor de la aceleración de la gravedad es $|\vec{g}|=9.80\,\mathrm{m/s^2}$ .

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
Si la masa está en equilibrio estático, ¿cuál es el valor del módulo de la fuerza de rozamiento?
Manteniendo constante el módulo de la fuerza ejercida por la cuerda, se procede a cambiar su dirección, de manera que el ángulo $θ$ varía dentro del rango $0\leq \theta \leq \pi/2$ . ¿Cuál es el valor límite de dicho ángulo, $θ lim$ , en que el cuerpo dejaría de estar en reposo y comenzaría a deslizar sobre el plano?

2 Solución

La figura muestra las fuerzas que actúan sobre la masa, a saber: la cuerda, el peso, la componente normal de la fuerza de reacción vincular y la fuerza de rozamiento. También se indica los sentidos de las fuerzas. Escogiendo el eje $X$ horizontal y el eje $Y$ vertical estas fuerzas se expresan como

$\begin{array}{l} \vec{F}_0 = F_0\cos\theta\,\vec{\imath} + F_0\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{P} = -mg\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{\Phi} = N\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{f}_{roz} = f_{roz}\,\vec{\imath} \end{array}$

En el equilibrio las fuerzas deben sumar cero

$\vec{F}_0 + \vec{P} + \vec{\Phi} + \vec{f}_{roz} = \vec{0}$

Esta ecuación vectorial se traduce en dos ecuaciones escalares, una por cada componente

$\begin{array}{ll} (X): & F_0\cos\theta + f_{roz} = 0\\ &\\ (Y): & F_0\,\mathrm{sen}\,\theta -mg + N = 0 \end{array}$

De estas ecuaciones obtenemos

$\begin{array}{l} f_{roz} = -F_0\cos\theta\\ \\ N = mg - F_0\,\mathrm{sen}\,\theta \end{array}$

El signo menos de $f r o z$ indica que la fuerza de rozamiento tira hacia la izquierda, como se indica en la figura. El vector es

$\vec{f}_{roz} = -F_0\cos\theta \Longrightarrow |\vec{f}_{roz}| = F_0\cos\theta = 4.33\,\mathrm{N}$

Para que no haya deslizamiento el módulo de la fuerza de rozamiento necesario para que haya equilibrio debe ser menor que su valor máximo, es decir

$|\vec{f}_{roz}| \leq \mu|\vec{\Phi}|$

Esto implica que

$F_0\cos\theta \leq \mu(mg - F_0\,\mathrm{sen}\,\theta)$

El valor del ángulo límite $θ l i m$ se obtiene para el caso de la igualdad. Esto nos da una ecuación para $θ l i m$

$F_0\cos\theta = \mu(mg - F_0\,\mathrm{sen}\,\theta)$

En el enunciado del problema se daban tres valores posible para el ángulo. Una forma de averiguar cuál era el valor correcto es sustituir cada valor del ángulo en cada miembro de esta igualdad y ver cual hace que los dos sean iguales. Para $π / 4$ tenemos

$\begin{array}{l} F_0\cos(\pi/4) \approx 3.54 \\ \mu(mg - F_0\,\mathrm{sen}\,(\pi/4)) \approx 3.50 \end{array}$

Esta era la solución correcta.

Otra forma es resolver la ecuación. Para ello elevamos la igualdad al cuadrado y usamos la relación fundamental de la trigonometría $(\mathrm{sen}^2\,\theta + \cos^2\theta=1)$ . Nos queda

$F_0^2(1-\mathrm{sen}^2\,\theta_{lim}) = \mu^2(mg-F_0\mathrm{sen}\,\theta_{lim})^2$

Nos queda una ecuación de segundo grado para $senθ l i m$

$F_0^2(1+\mu^2)\mathrm{sen}^2\theta_{lim} - 2\mu^2mgF_0\mathrm{sen}\,\theta_{lim} + \mu^2m^2g^2-F_0^2$

Sustituyendo los valores numéricos tenemos

$169\mathrm{sen}^2\theta_{lim} - 288 \mathrm{sen}\,\theta_{lim} + 119=0$

Las dos soluciones son

$\begin{array}{lcl} \mathrm{sen}\,\theta_{lim} \approx 1 &\to& \theta_{lim}\approx \pi/2 \\ \mathrm{sen}\,\theta_{lim}\approx 0.704 \approx 1/\sqrt{2} &\to& \theta_{lim}\approx \pi/4 \end{array}$

La solución correcta es la segunda, pues es la que encontramos antes al ir aumentando el ángulo.

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