F1 GIA PPC 2013, Punto moviéndose en una circunferencia sobre un plano

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

1 Enunciado

Un punto material $P$ se mueve recorriendo la circunferencia $Γ$ contenida en un plano fijo $Π$ y cuyo centro es el punto $C$ , dado por el segmento orientado $\overrightarrow{OC} = \vec{\jmath} + \vec{k}$ , cuyas componentes se miden en metros (m) y están referidas a un sistema cartesiano $O X Y Z$ . En el instante inicial $(t = 0)$ , el punto móvil $P$ ocupa la posición determinada por el segmento orientado $\overrightarrow{OP}_0 = 2\,\vec{\jmath}$ . A partir de ́esta, la partícula realiza un movimiento circular caracterizado por un vector rotación instantánea o velocidad angular, cuyas componentes medidas en radianes por segundo son:

$\vec{\omega}(t) = \cos(\omega_0t)\left(\vec{\imath} + 2\,\vec{\jmath} + 2\vec{k}\right) \,\mathrm{(rad/s)}; \quad \mathrm{con}\quad \omega_0 = \dfrac{3}{2\pi}\,\mathrm{rad/s}$

El movimiento se verifica en el intervalo de tiempo $0 \leq t \leq \pi/2\omega_0$ , de manera que la partícula recorre la circunferencia una sola vez, y siempre en sentido antihorario.

¿Cómo es la ley horaria $θ(t)$ que describe el ́angulo recorrido por el segmento orientado $\overrightarrow{CP}$ , desde el instante inicial hasta el instante $t$ ?
¿Cómo es el vector binormal del triedro intrínseco a la trayectoria, en función de la posición de la partícula?
¿Cómo es la curvatura de la trayectoria durante el movimiento?
¿Cómo es la velocidad instantánea de la partícula en $t = 0$ ?
Calcule las componentes tangencial y normal de la velocidad en el instante inicial

1.1 Ley horaria para $b θ$

El vector rotación se define como

$\vec{\omega}(t) = \dot{\theta}\,\vec{n}$

El vector $\vec{n}$ se obtiene dividiendo $\vec{omega}$ por su módulo

$|\vec{\omega}| = \cos(\omega_t) \sqrt{1^2+2^2+2^2} = 3\cos(\omega_0t)$

Por tanto

$\vec{n} = \dfrac{1}{3}\left(\vec{\imath} + 2\,\vec{\jmath} + 2\vec{k}\right)$

Comparando $\vec{\omega}$ y $\vec{n}$ vemos que

$\vec{\omega} = 3\cos(\omega_0t)\left(\dfrac{1}{3}\left(\vec{\imath} + 2\,\vec{\jmath} + 2\vec{k}\right)\right) = 3\cos(\omega_0t)\,\vec{n}$

Por tanto

$\dot{\theta} = 3\cos(\omega_0t)$

Esta es una ecuación diferencial que podemos integrar.

$\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = 3\cos(\omega_0t) \Rightarrow \mathrm{d}\theta = 3\cos(\omega_0t)\,\mathrm{d}t$

Integramos en los dos lados e incorporamos en los límites la condición inicial $θ(0) = 0$ , pues $\overrightarrow{CP}(0)= \overrightarrow{CP_0}$

$\int\limits_0^{\theta(t)}\mathrm{d}\theta = \int\limits_0^t 3\cos(\omega_0t)\,\mathrm{d}t \Rightarrow \theta(t) = \dfrac{3}{\omega_0}\,\mathrm{sen}\,(\omega_0t)$