Expresión de un vector, Noviembre 2011 (G.I.C.)

De Laplace

1 Enunciado

Dado un vector $\vec{a}$ , se conocen de él los siguientes datos: al proyectar $\vec{a}$ ortogonalmente sobre el vector $\vec{\imath}$ , la componente paralela a $\vec{\imath}$ de la proyección vale 1, mientras que la componente perpendicular vale 2; al colocar el origen de $\vec{a}$ en el origen de coordenadas, su extremo está en el plano $z = - 2$ . ¿Cuál de estas expresiones del vector $\vec{a}$ es correcta?

$\vec{a} = 2\,\vec{\imath} + \vec{k}$ .
$\vec{a} = 2\,\vec{\imath} - 2\,\vec{k}$ .
$\vec{a} = \vec{\imath} + 2\,\vec{k}$ .
$\vec{a} = \vec{\imath} - 2\,\vec{k}$ .

2 Solución

La expresión en coordenadas cartesianas del vector $\vec{a}$ es

$\vec{a}=a_x\,\vec{\imath} + a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k}$

La primera condición que nos da implica que

$\vec{a}\cdot\vec{\imath} = 1 = a_x$

La segunda condición se traduce en

$|\vec{a}\times\vec{\imath}|=2$

Tenemos

$\vec{a}\times\vec{\imath} = (a_x\,\vec{\imath} + a_y\,\vec{\jmath} + a_z\,\vec{k}) \times (\vec{\imath}) = -a_y\,\vec{k} + a_z\,\vec{\jmath}$

La condición sobre el módulo implica que

$a_y^2+a_z^2 = 4$

Por último, si ponemos el origen del vector en el origen de coordenadas y su extremo está en el plano $z = - 2$ implica que la componente $a z$ es igual a -2

$a z = - 2$

De las tres expresiones obtenidas vemos que el vector $\vec{a}$ en coordenadas cartesianas es

$\vec{a} = \vec{\imath} -2\,\vec{k}$

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