Expansión lineal de un gas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Temperatura final
3 Variación de la energía interna
4 Trabajo realizado
5 Calor que entra en el gas

1 Enunciado

Se tiene una cantidad fija de un gas ideal diatómico situada a una presión $p 0$ , volumen $V 0$ y temperatura $T 0$ . Experimenta un proceso tal que la presión final es $2 p 0$ y el volumen $2 V 0$ .

En este proceso, ¿cómo varía la temperatura?
Halle el incremento de la energía interna en este proceso

Supongamos que el proceso anterior ocurre de manera cuasiestática según la ley

$p(V) = \frac{p_0}{V_0}V$

¿Cuánto trabajo se realiza sobre el gas en esta expansión cuasiestática?
¿Cuánto calor entra en el gas en la expansión cuasiestática?

2 Temperatura final

Puesto que la cantidad de gas es constante, podemos emplear la ley de los gases ideales en la forma

$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$

donde en este caso

$p_1=p_0\qquad V_1=V_0\qquad T_1 = T_0\qquad p_2=2p_0\qquad V_2=2V_0$

lo que nos da

$\frac{p_0V_0}{T_0}=\frac{(2p_0)(2V_0)}{T_2}\qquad\Rightarrow\qquad T_2 = 4T_0$

Vemos que en este proceso aumentan simultáneamente la presión, el volumen y la temperatura. Una expansión no significa necesariamente una reducción en la presión, ya que simultáneamente se puede estar calentando el gas y aumentando su presión y temperatura.

3 Variación de la energía interna

La energía interna de un gas ideal solo depende de la temperatura. Si la capacidad calorífica es constante, la energía interna se puede escribir

$U = U_0+n c_v T\,$

siendo su incremento

$\Delta U = n c_v\,\Delta T$

Podemos relacionar esto con los datos del problema observando que

$c_v = \frac{5}{2}R\qquad\Rightarrow\qquad \Delta U = \frac{5}{2}\left(nRT_2-nRT_1\right)=\frac{5}{2}\left(p_2V_2-p_1V_1\right)$

Sustituyendo las presiones y volúmenes

$\Delta U = \frac{15p_0V_0}{2}$

4 Trabajo realizado

En un proceso cuasistático puede calcularse el trabajo neto realizado sobre un sistema mediante la integral

$W = -\int_{V_1}^{V_2}p\,\mathrm{d}V$

Para este caso en concreto

$W = -\int_{V_0}^{2V_0}\frac{p_0V}{V_0}\mathrm{d}V=-\frac{p_0}{V_0}\int_{V_0}^{2V_0}V\mathrm{d}V = -\left.\frac{p_0}{V_0}\,\frac{V^2}{2}\right|_{V_0}^{2V_0}=-\frac{3}{2}p_0V_0$

El trabajo es negativo pué al expandirse, realmente es el gas interior el que realiza trabajo sobre el ambiente.

5 Calor que entra en el gas

Una vez que tenemos el trabajo y la variación de la energía interna, el cálculo del calor que entra es inmediato, por aplicación del principio de la termodinámica

$Q = \Delta U - W = \frac{15}{2}p_0V_0+\frac{3}{2}p_0V_0 = 9p_0V_0$

Este calor que entra es responsable tanto del aumento de la energía interna como del trabajo realizado por el gas sobre el ambiente.

Expansión lineal de un gas

De Laplace

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1 Enunciado

2 Temperatura final

3 Variación de la energía interna

4 Trabajo realizado

5 Calor que entra en el gas

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