Espira triangular que penetra en campo magnético

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Corriente inducida
3 Energía disipada
4 Fuerza en un instante
5 Valores numéricos

1 Enunciado

Una espira en forma de triángulo de altura $h$ y base $b = b 1 + b 2$ penetra en un campo magnético uniforme $B_0\vec{k}$ que se extiende en la región $x > 0$ tal como indica la figura (la base del triángulo es paralela al borde del campo). La espira es de un hilo de resistencia $R$ .

La espira se mueve con velocidad constante $v_0\vec{\imath}$ y penetra en el campo magnético en $t = 0$ .

Determine la corriente que circula por la espira como función del tiempo.
Calcule la energía total disipada en ella desde que comienza a entrar hasta que penetra por completo.
Halle la fuerza magnética sobre la espira para el instante en que ha penetrado hasta $x = h / 2$ .
Dé valores numéricos a los apartados anteriores si $b_1=9\,\mathrm{cm}$ , $b_2=16\,\mathrm{cm}$ , $h=12\,\mathrm{cm}$ , $B_0=100\,\mathrm{mT}$ , $v_0=2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y el hilo tiene conductividad $\sigma = 6.0\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ y sección $A=1\,\mathrm{mm}^2$ .

2 Corriente inducida

La corriente que circula por la espira se halla combinando la ley de Faraday y la de Ohm

$I = \frac{\mathcal{E}}{R}=-\frac{1}{R}\,\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}$

Considerando un sentido de recorrido antihorario de la espira, el flujo magnético es igual a

$\Phi_m=\int\vec{B}\cdot\mathrm{d}S=B_0S(t)$

con S(t) el área del triángulo en el cual hay campo magnético. Este área vale

$S(t) = \frac{xy}{2}$

y por semejanza de triángulos

$\frac{y}{b}=\frac{x}{h}$

Dado que $x = v 0 t$ queda finalmente

$S(t) = \frac{bx^2}{2h}=\frac{bv_0^2t^2}{2h}$

y resulta la corriente

$I=-\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{B_0bv_0^2 t^2}{2h}\right)=-\frac{B_0bv_0^2t}{Rh}$

El signo negativo indica que la corriente realmente va en sentido horario.

Este resultado vale solo para el intervalo de tiempo en que la espira entra en el campo. Antes de que entrara y una vez que ha penetrado por completo (lo cual ocurre a partir de $T = h / v 0$ ) el flujo magnético no cambia y la corriente es nula. Por tanto

$I(t)=\begin{cases} 0 & t < 0 \\ & \\ -\dfrac{B_0bv_0^2t}{Rh} & 0 < t < \dfrac{h}{v_0} \\ & \\ 0 & t> \dfrac{h}{v_0}\end{cases}$

3 Energía disipada

La energía se disipa por efecto Jooule sólo en el periodo en el que la espira está penetrando en el campo. Por tanto

$W_d = \int_0^{h/v_0} \frac{B_0^2b^2v_0^4 t^2}{Rh^2}\mathrm{d}t=\frac{B_0^2b^2v_0h}{3R}$

4 Fuerza en un instante

La fuerza sobre una espira inmersa parcialmente en un campo magnético uniforme es

$\vec{F}=I\int_P^Q \mathrm{d}\vec{r}\times\vec{B}=I\overrightarrow{PQ}\times\vec{B}$

siendo P el punto donde la espira penetra en el campo y Q por donde sale de él. En este caso

$\overrightarrow{PQ}=y(x=h/2)\vec{\jmath}=\frac{b}{2}\vec{\jmath}$

Esto nos da

$\vec{F}=I\left(\frac{b}{2}\vec{\jmath}\right)\times(B_0\vec{k})=\frac{IbB_0}{2}\vec{\imath}$

Sustituimos el valor de la intensidad de corriente en ese instante

$I\left(x=\frac{h}{2}\right) = I\left(t=\frac{h/v_0}{2}\right) = -\frac{B_0v_0 b}{2R}$

y queda

$\vec{F}=-\frac{B_0^2b^2 v_0}{4R}\vec{\imath}$

Obsérvese que no necesitamos descomponer el tramo en los dos segmentos rectilíneos.

5 Valores numéricos

La resistencia del hilo tiene el valor

$R = \frac{l}{\sigma A}$

donde la longitud es el perímetro del triángulo

$l = b+ \sqrt{b_1^2+h^2}+\sqrt{b_2^2+h^2}= 25\,\mathrm{cm}+15\,\mathrm{cm}+20\,\mathrm{cm}= 60\,\mathrm{cm}$

Nótese que éste es el único sitio donde se usan por separado $b 1$ y $b 2$ . Queda entonces

$R = \frac{0.60}{6\times 10^7\times 10^{-6}}\Omega = 0.010\,\Omega$

A partir de aquí tenemos:

Corriente como función del tiempo: para el intervalo en que la espira entra en el campo ( $0 < t < 0.06\,\mathrm{s}$ ), y midiendo el tiempo en segundos y la corriente en amperios