Esferas cargadas Primera Prueba de Control 2010/11 (F2GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Tenemos una esfera maciza metálica de radio $R 1$ rodeada de una carcasa esférica de radio $R 2$ . La esfera interior tiene una carga neta $Q 1$ y la carcasa una carga neta $Q 2$ . Escogemos como origen del potencial eléctrico el infinito.

¿Cuál es la carga en la superficie exterior de la carcasa esférica de radio $R 2$ ?

$Q 2$ .
$Q 2 - Q 1$ .
$0$ .
$Q 1 + Q 2$ .

¿Cuánto vale el potencial de la esfera interior respecto al infinito?

$\dfrac{kQ_1}{R_1} + \dfrac{kQ_2}{R_2}$ .
$\dfrac{k (Q_1+Q_2)}{R_1}$ .
$\dfrac{kQ_1}{R_1}$ .
$\dfrac{k(Q_2-Q_1)}{R_2} + \dfrac{kQ_1}{R_1}$ .

Se conecta la esfera interior a tierra, de modo que su potencial es cero e igual al del infinito. Una vez que se ha llegado al estado estacionario, ¿cuánto vale la carga en la esfera interior?

$Q 1' = - (R 1 / R 2) Q 2$ .
$Q 1' = - (R 2 / R 1) Q 2$ .
$Q 1' = Q 1$
$Q 1' = 0$ .

2 Solución

2.1 Carga en la superficie externa

La solución correcta es la 4.

En un conductor la carga neta sólo puede acumularse en las superficies, nunca en el interior. Como el campo en el interior de la carcasa, (es decir, en el metal de la carcasa) ha de ser nulo, aparece una carga $- Q 1$ en la superficie interior de la carcasa. Pero la carga neta de la carcasa es $Q 2$ . Por tanto, la carga total en la superficie exterior de la carcasa es $Q 1 + Q 2$ . De este modo la carga total de la carcasa es

$Q c a r c a s a = ( - Q 1) + (Q 1 + Q 2) = Q 2$

2.2 Potencial de la esfera interior respecto al infinito

La respuesta correcta es la 1.

Para determinar el potencial hay que conocer el campo eléctrico. Como sólo tenemos esferas, el campo puede determinarse usando la ley de Gauss y superficies gaussianas esféricas. El campo es

$\vec{E} = \left\{ \begin{array}{ll} \vec{0} & r<R_1 \\ &\\ \dfrac{k\,Q_1}{r^2}\hat{\vec{r}} & R_1<r<R_2\\ &\\ \dfrac{k\,(Q_1+Q_2)}{r^2}\hat{\vec{r}} & R_1<r<R_2\\ \end{array} \right.$

El vector $\hat{\vec{r}}$ es un vector unitario radial dirigido desde el centro de la esfera.

Para determinar el potencial de la esfera interior respecto del infinito debemos unir estos dos puntos con un camino, y calcular la circulación del campo a lo largo de él. Lo más sencillo es escoger como una línea recta. De este modo tenemos

$V(R_1) - V(\infty) = -\int\limits_{\infty}^{R_1}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r} = -\int\limits_{\infty}^{R_1}E(r)\,\mathrm{d}r$

Hemos usado el hecho de que en el camino elegido $\vec{E}$ y $\mathrm{d}\vec{r}$ son paralelos. Al hacer la integral hay que dividirla en dos trozos, pues la expresión del campo es distinta fuera de las dos esferas y entre la carcasa y la esfera interior. Tenemos

$V(R_1) - V(\infty) = -\int\limits_{\infty}^{R_2}\dfrac{k\,(Q_1+Q_2)}{r^2}\,\mathrm{d}r -\int\limits_{R_2}^{R_1}\dfrac{k\,Q_1}{r^2}\,\mathrm{d}r = \dfrac{k\,(Q_1+Q_2)}{R_2} + k\,Q_1\left(\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}\right)$

Operando, y teniendo en cuenta que $V(\infty)=0$ obtenemos

$V(R_1) = \dfrac{k\,Q_1}{R_1} + \dfrac{k\,Q_2}{R_2}$

2.3 Carga en la esfera interior al conectarla a tierra

La solución conecta es la 1.

Conectar un conductor a tierra quiere decir ponerlo en contacto con otro conductor que mantiene su potencial constante, y con el que puede intercambiar carga. Un conductor a tierra no tiene por que tener carga cero. Lo que ocurre es que ese conductor se pone al mismo potencial que la tierra. En este problema el potencial de la tierra es igual que el del infinito.

Al conectar a tierra la esfera interior, al alcanzar el equilibrio electrostático su nueva carga es $Q 1'$ . La carcasa exterior está aislada, por lo que su carga sigue siendo $Q 2$ . La expresión del campo eléctrico es la misma que la del primer apartado, cambiando $Q 1$ por $Q 1'$ . Usando el resultado del segundo apartado el potencial de la esfera interior respecto al infinito es

$V'(R_1) = \dfrac{k\,Q_1'}{R_1} + \dfrac{k\,Q_2}{R_2}$

Este potencial debe ser cero. De ahí obtenemos el valor de la nueva carga en la esfera interior

$Q_1' = -Q_2\,\dfrac{R_1}{R_2}$

Esferas cargadas Primera Prueba de Control 2010/11 (F2GIA)

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2 Solución

2.1 Carga en la superficie externa

2.2 Potencial de la esfera interior respecto al infinito

2.3 Carga en la esfera interior al conectarla a tierra

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