Energía en los rebotes de una bola

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Introducción
3 Gráficas
- 3.1 Cantidad de movimiento
- 3.2 Energía

1 Enunciado

Una partícula de masa m es lanzada desde $\vec{r}_0 = h\vec{k}$ con velocidad $\vec{v}_0 = v0\vec{\imath}$ . Se mueve por acción de la gravedad $\vec{g} = −g\vec{k}$ sin rozamiento. Cuando la partícula impacta con el suelo $z = 0$ experimenta una colisión inelástica tal que:

la componente de la velocidad tangente al suelo no cambia.
la componente perpendicular al suelo cambia de signo.

La partícula vuelve a ascender y caer, rebotando de nuevo, etc. Indique cómo serían las gráficas, como función del tiempo de:

la componente x de la cantidad de movimiento.
la componente z de la cantidad de movimiento.
la energía potencial debida al peso.
la energía cinética.
la energía mecánica.

2 Introducción

El movimiento que describe la partícula es una sucesión de tiros parabólicos. Inicialmente describe un arco de parábola dado por las leyes horarias

$x = v_0 t\qquad\qquad z = h - \frac{1}{2}gt^2$

siendo la velocidad en cada instante

$v_x = v_0\qquad\qquad v_z = -gt\,$

Este movimiento continúa hasta que impacta con el suelo. Eso ocurre en en el instante

$z_1=0\qquad\Rightarrow\qquad t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

y en la posición

$x_1 = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}\qquad\qquad z_1=0$

La velocidad en ese instante es igual a

$v_{x1} = v_0\qquad\qquad v_{z1} = -\sqrt{2gh}\,$

En la colisión, la componente de la velocidad paralela al suelo (la x) no cambia, pero la normal (la z) cambia de signo, así que justo tras la colisión, la velocidad vale

$v'_{x1} = v_0\qquad\qquad v'_{z1} = \sqrt{2gh}\,$

De ese punto la partícula describe un nuevo movimiento parabólico, en el que avanza a la vez que se eleva y vuelve a bajar. Las ecuaciones horarias para esta segunda parábola serán

$\begin{array}{rcl} x & = &x_1 + v'_{x1}(t-t_1) = v_0 t \\ && \\ z & = & v'_{z1}(t-t_1)-\frac{1}{2}g(t-t_1)^2 = -3h + 2\sqrt{2gh}t-\frac{1}{2}g t^2 \end{array}$

La altura máxima de este nuevo movimiento se alcanza cuando se anula la velocidad vertical

$v_z = 0\qquad\Rightarrow\qquad t_2-t_1 = \frac{v'_{z1}}{g}\qquad\Rightarrow\qquad z_\mathrm{max}= h$

es decir, vuelve a subir hasta la altura inicial (no hay pérdida de energía).

A partir de ahí el proceso se repite periódicamente, describiendo la partícula una sicesión de arcos de parábola idénticos.

El periodo del movimiento vertical es

$T = t_2 = 2t_1 = 2\sqrt{\frac{2h}{g}}$

3 Gráficas

3.1 Cantidad de movimiento

Horizontal: En cada movimiento parabólico, la componente horizontal permanece constante, y en cada colisión tampoco se ve afectada. Por tanto su gráfica frente al tiempo será una línea recta horizontal.
Vertical. Cuando la partícula ce, su velocidad vertical varía linealmente con el tiempo, hasta un valor $-\sqrt{2gh}$ en el momento del impacto. Inmediatamente tras la colisión, la componente vertical cambia de signo, lo que vemos como un salto en la función desde $-\sqrt{2gh}$ a $+\sqrt{2gh}$ . A partir de ahí vuelve a decrecer con aceleración g hasta que impacta de nuevo, repitiéndose el proceso. Gráficamente se trata de un diente de sierra.

3.2 Energía

Energía cinética: La energía cinética en cada instante es igual acción

$K = \frac{1}{2}m(v_x^2+v_z^2)$

de estos dos sumandos, el primero es constante, mientras que el segundo varía cuadráticamente con el tiempo (ya que la velocidad varía linealmente). Por tanto su gráfica es una sucesión periódica de parábolas cóncavas hacia arriba. El valor mínimo (no nulo) corresponde a al punto más alto, donde solo hay velocidad horizontal. El máximo al punto de impacto.

Energía potencial: La energía potencial va como la coordenada vertical

$U = mgz\,$

Dado que la altura varía como en un movimiento uniformemente acelerado, U es una función cuadrática del tiempo en cada periodo. Vale 0 en el punto de impacto y es máxima en la posición inicial y todas las veces que llega a la misma altura.

Energía mecánica: En este proceso no hay rozamiento por lo que en cada ascenso y caída se conserva la energía mecánica. También se conserva en cada colisión, ya que ni la energía potencial ni la cinética lo hacen. Por tanto, su gráfica es una recta horizontal

Error al crear miniatura:

Combinado las tres gráficas en una vemos, que la suma de las dos parábolas correspondientes a la cinética y a la potencial dan como resultado una recta. En este proceso, durante la bajada, la energía potencial se transforma en cinética, y durante la subida es al revés.

Energía en los rebotes de una bola

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2 Introducción

3 Gráficas

3.1 Cantidad de movimiento

3.2 Energía

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