Dos varillas apoyadas en el suelo con rozamiento

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

(Septiembre 2009, P1)

El sistema mecánico de la figura está formado por dos varillas del mismo material, $A O$ y $B C$ , de longitudes respectivas $a$ y $3 a / 2$ , y cuyos pesos $P$ y $Q$ son proporcionales a sus correspondientes longitudes. El extremo $O$ de la varilla más corta está articulado sin rozamiento en un punto de $B C$ de forma que, cuando el sistema está en equilibrio estático en un plano vertical, con los extremos $A$ y $B$ apoyados en el suelo horizontal, éste forma con las varillas sendos ángulos iguales de valor $α$ (véase la figura). El contacto que se establece entre las varillas y el suelo es de naturaleza rugosa, estando caracterizado por un coeficiente de rozamiento estático de valor $μ$ .

Aplicando el principio de fragmentación, represente el diagrama de fuerzas que actúa sobre cada sólido.
En el estado de equilibrio descrito, calcule el valor de las fuerzas de reacción vincular en los extremos $A$ y $B$ , incluyendo las de rozamiento.
¿En cuál de los puntos de contacto, $A$ o $B$ , se iniciaría el deslizamiento, rompiéndose el equilibrio del sistema? Determine para qué rango de valores del ángulo $α$ el sistema estará en equilibrio estático.

2 Solución

2.1 Fuerzas sobre cada sólido

Veamos cuales son las fuerzas que actúan sobre cada uno de los sólidos.

2.1.1 Sólido 2

Las fuerzas que actúan sobre el sólido "2" son su peso, $\mathbf{P}$ , y las fuerzas de reacción vincular (f.r.v.) ejercidas sobre él por el sólido "0", $\mathbf{\Phi}_{02}$ y el suelo, $\mathbf{\Phi}_{12}$ .

$\left. \begin{array}{lcl} \mathbf{P} &=& -P\,\mathbf{j}\\ &&\\ \mathbf{\Phi}_{02} &=& \Phi_{02x}\,\mathbf{i} + \Phi_{02y}\,\mathbf{j}\\ &&\\ \mathbf{\Phi}_{12} &=& f_{12}\,\mathbf{i} + N_{12}\,\mathbf{j} \end{array} \right.$

El peso $\mathbf{P}$ se aplica en el centro del sólido "2", (punto $E$ ), y las f.r.v. en los puntos de contacto con los sólidos "0" y ``1.

2.1.2 Sólido 0

Las fuerzas que actúan sobre el sólido "0" son su peso, $\mathbf{Q}$ , y las fuerzas de reacción vincular ejercidas sobre él por el sólido "2", $\mathbf{\Phi}_{20}$ y el suelo, $\mathbf{\Phi}_{10}$ .

$\left. \begin{array}{lcl} \mathbf{Q} &=& -Q\,\mathbf{j}\\ &&\\ \mathbf{\Phi}_{20} &=& -\mathbf{\Phi}_{02} = -\Phi_{02x}\,\mathbf{i} - \Phi_{02y}\,\mathbf{j}\\ &&\\ \mathbf{\Phi}_{10} &=& f_{10}\,\mathbf{i} + N_{10}\,\mathbf{j} \end{array} \right.$

El peso $\mathbf{Q}$ se aplica en el centro del sólido "0", (punto $F$ ), y las f.r.v. en los puntos de contacto con los sólidos "2" y ``1. La figura de la derecha muestra los diagramas de sólido libre de los sólidos "0" y "2".

Hay que señalar que la f.r.v. $\mathbf{\Phi}_{02}$ no tiene por qué ser perpendicular a ninguna de las barras, pues la articulación es puntual.

2.2 Valor de la f.r.v. en los puntos $A$ y $B$

Para que haya equilibrio estático la suma de las fuerzas sobre cada sólido debe anularse, así como el momento total de las fuerzas sobre cada uno de ellos. De este modo obtenemos seis ecuaciones para seis incógnitas. Para el sólido "2" la suma de fuerzas es

$\sum \mathbf{F}_{i2}=\mathbf{0} \Longrightarrow \left| \begin{array}{lcl} \Phi_{02x}+f_{12} & = & 0 \\ && \\ \Phi_{02y} + N_{12}&=& P \end{array} \right.$

Vamos a calcular el momento respecto al punto $O$ , pues así la fuerza $\mathbf{\Phi}_{02}$ no aparece.Tenemos

$\mathbf{M}_2 = \overrightarrow{OE}\times\mathbf{P}+ \overrightarrow{OA}\times\mathbf{\Phi}_{12}$

Los vectores que aparecen son

$\begin{array}{l} \displaystyle \overrightarrow{OE} = -\frac{a}{2}\cos\alpha\,\mathbf{i} - \frac{a}{2}\,\mathrm{sen}\alpha\,\mathbf{j}\\ \\ \overrightarrow{OA} = -a\cos\alpha\,\mathbf{i} - a\,\mathrm{sen}\alpha\,\mathbf{j} \end{array}$

Igualando el momento total a cero obtenemos

$\overrightarrow{OE}\times\mathbf{P}+\overrightarrow{OA}\times\mathbf{\Phi}_{12}= \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ && \\ \displaystyle -\frac{1}{2}a\cos\alpha & \displaystyle -\frac{1}{2}a\,\mathrm{sen}\alpha & 0 \\ & &\\ 0 & -P & 0 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ && \\ \displaystyle -a\cos\alpha & \displaystyle- a\,\mathrm{sen}\alpha & 0 \\ & &\\ f_{12} & N_{12} & 0 \end{array} \right| =\mathbf{0}$

Y la ecuación que se obtiene es

$N_{12}\cos\alpha - f_{12}\,\mathrm{sen}\alpha = \frac{1}{2}P\,\cos\alpha$

Si hacemos lo mismo para el sólido "0" tenemos

$\sum \mathbf{F}_{i0}=\mathbf{0} \Longrightarrow \left| \begin{array}{lcl} -\Phi_{02x}+f_{10} & = & 0 \\ && \\ -\Phi_{02y} + N_{10}&=& Q \end{array} \right.$

El momento resultante respecto al punto $O$ es

$\mathbf{M}_0 = \overrightarrow{OF}\times\mathbf{Q} + \overrightarrow{OB}\times\mathbf{\Phi}_{10}$

Los vectores de posición son

$\begin{array}{l} \displaystyle \overrightarrow{OF}=\frac{a}{4}\cos\alpha\,\mathbf{i}-\frac{a}{4}\,\mathrm{sen}\alpha\,\mathbf{j}\\ \\ \displaystyle \overrightarrow{OB}=a\cos\alpha\,\mathbf{i}-a\,\mathrm{sen}\alpha\,\mathbf{j} \end{array}$

El momento total es

$\mathbf{M}_0 = \overrightarrow{OF}\times\mathbf{Q}+\overrightarrow{OB}\times\mathbf{\Phi}_{20}= \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ && \\ \displaystyle \frac{1}{4}a\cos\alpha & \displaystyle -\frac{1}{4}a\,\mathrm{sen}\alpha & 0 \\ & &\\ 0 & -Q & 0 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ && \\ \displaystyle a\cos\alpha & \displaystyle -a\,\mathrm{sen}\alpha & 0 \\ & &\\ f_{10} & N_{10}& 0 \end{array} \right| =\mathbf{0}$

Y la ecuación es

$N_{10}\cos\alpha + f_{10}\,\mathrm{sen}\alpha = \frac{1}{4}Q\,\cos\alpha$

Podemos eliminar la f.r.v. $\mathbf{\Phi}_{02}$ , que no nos interesa, sumando las componentes $X$ y las componentes $Y$ de las ecuaciones obtenidas al imponer que la suma de fuerzas sobre cada uno de los sólidos sea cero.

$\begin{array}{l} X: \left. \begin{array}{l} f_{12}+\Phi_{02x}=0\\ \\ f_{10}-\Phi_{02x}=0 \end{array} \right| \Longrightarrow f_{12}+f_{10}=0 \\ \\ Y: \left. \begin{array}{l} N_{12}+\Phi_{02y}=P\\ \\ N_{10}-\Phi_{02y}=Q \end{array} \right| \Longrightarrow N_{12}+N_{10}=P+Q \end{array}$

Estas dos ecuaciones pueden obtenerse directamente imponiendo que la suma de fuerzas sobre los sólidos "0" y "2" considerados como un todo sea nula. El problema ahora se reduce a resolver cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, a saber,

$\left. \begin{array}{l} f_{12}+f_{10}=0\\ \\ N_{12}+N_{10} = P+Q\\ \\ \displaystyle N_{12}- f_{12}\tan\alpha = \frac{1}{2}P\\ \\ \displaystyle N_{10}+ f_{10}\tan\alpha = \frac{1}{4}Q \end{array} \right.$

Al resolver el sistema obtenemos

$\left. \begin{array}{lcl} f_{12} &=& \displaystyle \frac{1}{8\tan\alpha}\left(2P+3Q\right)\\ &&\\ N_{12} &=& \displaystyle \frac{3}{8}\left(2P+Q\right)\\ &&\\ f_{10} &=& \displaystyle -\frac{1}{8\tan\alpha}\left(2P+3Q\right)\\ &&\\ N_{10} &=& \displaystyle \frac{1}{8}\left(2P+5Q\right)\\ &&\\ \end{array} \right.$

Las fuerzas que se piden explícitamente son

$\begin{array}{l} \mathbf{\Phi}_{12} = f_{12}\,\mathbf{i}+N_{12}\,\mathbf{j}\\ \\ \mathbf{\Phi}_{10} = f_{10}\,\mathbf{i}+N_{10}\,\mathbf{j}\\ \\ \end{array}$

2.3 Condiciones de equilibrio para $α$

En cada apoyo el módulo de la fuerza de rozamiento debe ser menor o igual que el producto del coeficiente de rozamiento por la normal. Analicemos la situación para cada uno de los apoyos

2.3.1 Apoyo del sólido "2"

Para que el equilibrio se mantenga debe cumplirse

$|f_{12}|\leq \mu |N_{12}| \Longrightarrow \tan\alpha\geq\displaystyle\frac{2P+3Q}{3\mu(2P+Q)}$

El enunciado nos dice que las dos barras están hechas del mismo material y que su peso es proporcional a la longitud. Esto quiere decir que la densidad lineal de masa de las barras es uniforme. Si llamamos $λ$ a esa densidad lineal de masa tenemos

$P=a\lambda\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Q=\frac{3}{2}\lambda a$

Llevando esto a la condición para el ángulo obtenemos que, para que haya estabilidad en el apoyo de la izquierda debe ocurrir

$\tan\alpha\geq \tan\alpha_2 = \frac{13}{21\mu}$

2.3.2 Apoyo del sólido "0"

En este caso la condición que debe cumplirse es

$|f_{10}|\leq \mu |N_{10}| \Longrightarrow \tan\alpha\geq\displaystyle\frac{2P+3Q}{\mu(2P+5Q)}$

Usando la densidad lineal de masa tenemos

$\tan\alpha\geq \tan\alpha_0 = \frac{13}{19\mu}$

Tenemos

$\tan\alpha_0>\tan\alpha_2\Longrightarrow \alpha_0>\alpha_2$

En una situación estable el ángulo $α$ es mayor que $α 0$ y $α 2$ . Si lo vamos disminuyendo (abriendo las varillas) se incumple primero la condición de equilibrio que corresponde al mayor de los valores límites. Por tanto, desliza primero en el apoyo del sólido "0", esto es, el de la derecha.

2.4 Errores habituales detectados en la corrección

El error más habitual ha sido imponer desde el principio que la fuerza de rozamiento es igual al producto del coeficiente de rozamiento por la normal, es decir, $| f | = μ | N |$ . Esto sólo ocurre en situación de deslizamiento inminente. Como se puede ver en la resolución, los valores de equilibrio de $f 12$ y $f 10$ no dependen del coeficiente de rozamiento.
La fuerza de reacción vincular en $O$ , $\mathbf{\Phi}_{20}$ no tiene por qué ser perpendicular a ninguna de las dos barras. La articulación es puntual, y no se puede definir ninguna superficie en ella.

Dos varillas apoyadas en el suelo con rozamiento

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Fuerzas sobre cada sólido

2.1.1 Sólido 2

2.1.2 Sólido 0

2.2 Valor de la f.r.v. en los puntos $A$ y $B$

2.3 Condiciones de equilibrio para $α$

2.3.1 Apoyo del sólido "2"

2.3.2 Apoyo del sólido "0"

2.4 Errores habituales detectados en la corrección

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2.1 Fuerzas sobre cada sólido

2.1.1 Sólido 2

2.1.2 Sólido 0

2.2 Valor de la f.r.v. en los puntos A y B

2.3 Condiciones de equilibrio para α

2.3.1 Apoyo del sólido "2"

2.3.2 Apoyo del sólido "0"

2.4 Errores habituales detectados en la corrección

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2.2 Valor de la f.r.v. en los puntos $A$ y $B$

2.3 Condiciones de equilibrio para $α$