Dos esferas cargadas adyacentes

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Campo eléctrico
3 Trabajo en el primer camino
4 Trabajo en el segundo camino

1 Enunciado

Dos esferas de radio $R$ están cargadas uniformemente en su volumen con una carga $Q$ cada una. Las dos esferas son adyacentes, de forma que sus centros se hallan en $±R\vec{\imath}$ .

Calcule el campo eléctrico en los puntos $A ( - R,0)$ , $B ( + R,0)$ , $C (0,4 R 3)$ , $D ( - 8 R 3,0)$ y $F ( - 3 R 2,0)$ . El campo en todos estos puntos puede escribirse en la forma

$\vec{E}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\vec{\alpha}⃗$

con $\vec{\alpha}$ un cierto coeficiente vectorial distinto para cada punto, que es el que hay que determinar.

Calcule el trabajo necesario para mover una cierta carga puntual $q$ desde el punto A al punto B, si la carga se desplaza lentamente a lo largo del segmento rectilíneo indicado.
Calcule el trabajo necesario para mover la misma carga puntual $q$ desde el punto C al punto D, si la carga se desplaza lentamente a lo largo del camino quebrado que se indica.

2 Campo eléctrico

El campo eléctrico puede hallarse como la superposición del que crea cada esfera.

Asimismo, el campo creado por una esfera cargada uniformemente en volumen es en su exterior igual al de una carga puntual y en su interior varía linealmente con la distancia, desde 0 en el centro hasta el valor máximo en la superficie.

$\vec{E}=\begin{cases}\dfrac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 R^3}\vec{u}_r & r \leq R \\ & \\ \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\vec{u}_r & r \geq R\end{cases}$

Aquí, $r$ es la distancia al centro de la esfera (no al origen de coordenadas) y $\vec{u}_r$ es el vector unitario radial hacia afuera de ella.

Teniendo esto en cuenta, quedan los resultados siguientes:

2.1 Punto A

El punto $A ( - R,0)$ es el centro de la esfera izquierda, por tanto el campo que produce ella misma es nulo. Este punto se encuentra en el exterior de la esfera derecha, a una distancia 2R de su centro. El unitario radial respecto a esta esfera es $-\vec{\imath}$ . Por ello

$\vec{E}_A=\vec{0} +\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(2R)^2}(-\vec{\imath})=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}\left(-\frac{1}{4}\vec{\imath}\right)$

2.2 Punto B

El punto B es el simétrico del A. Por la simetría del sistema, el campo será igual en magnitud y opuesto al anterior, es decir

$\vec{E}_A=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(2R)^2}(+\vec{\imath})+\vec{0}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}\left(\frac{1}{4}\vec{\imath}\right)$

2.3 Punto C

Este punto se halla en el exterior de las dos esferas, es decir, el campo será la suma del de dos carga puntuales. La distancia a los dos centros es la misma, siendo esta distancia

$r=\sqrt{R^2+\left(\frac{4}{3}R\right)^2}=\frac{5}{3}R$

El vector unitario desde el centro de la esfera izquierda es

$\vec{u}_{r1}=\frac{R\vec{\imath}+(4R/3)\vec{\jmath}}{d}=\frac{3}{5}\vec{\imath}+\frac{4}{5}\vec{\jmath}$

y, desde la esfera derecha, por simetría

$\vec{u}_{r2}=-\frac{3}{5}\vec{\imath}+\frac{4}{5}\vec{\jmath}$

Esto nos da el campo

$\vec{E}_C=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(5R/3)^2}\left(\frac{3}{5}\vec{\imath}+\frac{4}{5}\vec{\jmath}-\frac{3}{5}\vec{\imath}+\frac{4}{5}\vec{\jmath}\right)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}\left(\frac{72}{125}\vec{\jmath}\right)$

Vemos que las componentes paralelas al eje X se anulan y solo quedan las verticales, que son iguales.

2.4 Punto D

Este también está fuera de las dos esferas, pero a diferente distancia de los dos centros. El vector unitario es $-\vec{\imath}$ para las dos esferas. Por ello

$\vec{E}_D=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(5R/3)^2}(-\vec{\imath})+\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(11R/3)^2}(-\vec{\imath})=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}\left(-\frac{9}{25}-\frac{9}{121}\right)\vec{\imath}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}\left(-\frac{1314}{3025}\vec{\imath}\right)$

2.5 Punto F

Por último, el punto F se halla fuera de la esfera derecha, pero dentro de la izquierda. El campo de la derecha es el de una carga puntual. El de la esfera izquierda varía linealmente desde el centro a la superficie. Puesto que F se encuentra a una distancia R/2 del centro, su campo será la mitad del de la superficie. Por tanto

$\vec{E}_F=\frac{1}{2}\,\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}(-\vec{\imath})+\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(5R/2)^2}(-\vec{\imath})=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}\left(-\frac{1}{2}-\frac{4}{25}\right)\vec{\imath}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}\left(-\frac{33}{50}\vec{\imath}\right)$

3 Trabajo en el primer camino

El trabajo para mover una carga en un campo externo es igual al producto de ésta por la diferencia de potencial. Por tanto, para mover la carga de A a B hay que realizar un trabajo

$W=q(V_B-V_A)\,$

Ahora bien, los puntos A y B son los centros de las dos esferas. Por la simetría del sistema, ambos se hallan al mismo potencial. Por ello

$V_A=V_B\qquad\Rightarrow\qquad W=0$

4 Trabajo en el segundo camino

En el segundo camino aplicamos un razonamiento similar

$W=q(V_D-V_C)\,$

En este caso, la diferencia de potencial no es nula. Necesitamos saber el potencial eléctrico debido a las dos esferas en estos puntos. Ambos son exteriores a las dos esferas y por tanto en ellos el potencial de cada una es el mismo que produciría una carga puntual (ya que el campo también es el de una carga puntual). Por ello

$V_C = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(5R/3)}+\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(5R/3)} =\frac{6}{5}\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\right)$

y

$V_D = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(5R/3)}+\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(11R/3)} =\frac{48}{55}\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\right)$

Siendo el trabajo

$W=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0R}\left(\frac{48}{55}-\frac{6}{5}\right)=-\frac{18}{55}\left(\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0R}\right)$

En realidad, podíamos haber ignorado la esfera izquierda y trabajar solo con la derecha, ya que los puntos C y D se hallan a la misma distancia del centro de la esfera izquierda.

Dos esferas cargadas adyacentes

De Laplace

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1 Enunciado

2 Campo eléctrico

2.1 Punto A

2.2 Punto B

2.3 Punto C

2.4 Punto D

2.5 Punto F

3 Trabajo en el primer camino

4 Trabajo en el segundo camino

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