Definición y propiedades de un sistema de partículas

De Laplace

Contenido

1 Definición de sistema de partículas
2 Masa total
3 Densidad de masa
4 Centro de masas (CM)
5 Cantidad de movimiento
6 Momento cinético (o angular)
- 6.1 Descomposición del momento angular
7 Energía cinética
- 7.1 Descomposición de la energía cinética

1 Definición de sistema de partículas

En mecánica consideramos un sistema de partículas como un conjunto de $N$ partículas que se mueven por separado, si bien interactúan entre sí y están sometidos a fuerzas externas.

El número de partículas que forman un sistema puede ser muy variado e ir desde 2 (por ejemplo, al estudiar un átomo de hidrógeno), hasta cantidades gigantescas (por ejemplo, en 1 l de agua hay del orden de 10²⁴ partículas).

Cuando el número de partículas es reducido se puede abordar el problema dinámico analizando cada una por separado. Cuando es elevado, es preciso recurrir a promedios y descripciones colectivas (como la mecánica estadística, la elasticidad o la mecánica de fluidos).

Los sistemas se clasifican en abiertos o cerrados. Un sistema cerrado es aquél en el que no entra ni salen partículas del sistema. Por tanto, su masa permanece constante. Un sistema abierto es aquel que permite el paso de partículas (y por tanto masa) a través de los límites del sistema. Aquí consideraremos solo sistemas cerrados.

Entre las fuerzas internas en un sistema estarían por ejemplo, las fuerzas eléctricas de atracción entre las cargas de un sistema de protones y electrones, o la atracción gravitatoria entre las estrellas de una galaxia. Entre las fuerzas externas figura, por ejemplo, el peso de un sistema de partículas, originado por la atracción de un cuerpo externo como la Tierra.

Cada una de las partículas del sistema posee una masa propia, $m i$ , siendo $i=1,\ldots,N$ un índice que sirve para etiquetar individualmente cada una de las partículas. la partícula $i$ está caracterizada por una posición $\vec{r}_i$ y una velocidad $\vec{v}_i$ . Esta posición y esta velocidad evolucionan de acuerdo con las leyes de la dinámica

$\frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t}=\vec{v}_i$ $\frac{\mathrm{d}\vec{v}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{m_i}\vec{F}_i$ $i=1,\ldots,N\,$

siendo $\vec{F}_i$ la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula $i$ . Esta resultante se compone de las fuerzas internas que cada una de las demás partículas del sistema ejerce sobre $i$ , más la resultante de las fuerzas externas (causadas por un agente externo al sistema) aplicadas sobre ella

$\vec{F}_i = \vec{F}_{i\mathrm{ext}}+ \vec{F}_{1\to i}+\vec{F}_{2\to i} + \cdots=\vec{F}_\mathrm{ext}+\sum_{k\neq i} \vec{F}_{k\to i}$

Suponemos que las interacciones entre las partículas obedecen la 3ª ley de Newton

$\vec{F}_{k\to i} = -\vec{F}_{i\to k}$

o, lo que es lo mismo

$\vec{F}_{k\to i} +\vec{F}_{i\to k} = \vec{0}$

En la mayoría de los casos se cumplirá además que la fuerza que la partícula $k$ ejerce sobre la $i$ (y por tanto la que la $i$ ejerce sobre la $k$ ) va en la dirección de la recta que une ambas partículas. Matemáticamente, esto se expresa imponiendo que el vector $\vec{F}_{k\to i}$ es paralelo a la posición relativa $\vec{r}_i-\vec{r}_k$ , esto es, si

$(\vec{r}_{i}-\vec{r}_k)\times\vec{F}_{k\to i} = \vec{0}$

Eliminando paréntesis y aplicando la tercera ley de Newton esto equivale a la condición

$\vec{r}_i\times\vec{F}_{k\to i} + \vec{r}_k \times \vec{F}_{i\to k} = \vec{0}$

2 Masa total

La masa total del sistema es la suma de las masas de los partículas que lo componen

$M = m_1 + m_2 + \cdots=\sum_i m_i$

3 Densidad de masa

3.1 Volumétrica

Cuando tenemos un sistema de muchos millones de partículas (como en un sólido, o un fluido), no es práctico hacer el sumatorio de las masas individuales. En su lugar se divide el sistema en elementos de volumen, $Δ V$ , que son regiones del espacio lo suficientemente pequeñas para tratarlas como diferenciales, pero lo suficientemente grandes como para que contengan miles de partículas. El sistema se considera entonces como continuo, esto es, en lugar de describirse como formado por partículas separadas, se considera constituido por elementos de volumen adyacentes.

Se define entonces la densidad de masa, $\rho(\vec{r})$ , de un elemento de volumen, como la masa de las partículas que lo forman, dividida por el volumen del elemento

$\rho = \frac{1}{\Delta{}V} \sum_{m_i\in\Delta{}V} m_i$

Dicho de otra forma, la masa de un elemento de volumen es el producto de la densidad de masa por el volumen del elemento

$\Delta m = \sum_{m_i\in\Delta{}V} m_i = \rho\,\Delta{}V$

La masa total del sistema será la suma de la masa de todos sus elementos

$M = \sum_{\forall\ \Delta m} \Delta m = \sum_{\forall\ \Delta{}V} \rho\,\mathrm{\Delta{}V}$

Una suma de muchas cantidades muy pequeñas no es otra cosa que una integral

$\mathrm{d}M=\rho\,\mathrm{d}V\qquad\Rightarrow\qquad M = \int_M \mathrm{d}M = \int_V \rho\,\mathrm{d}{}V$

Aquí la densidad es una función de la posición porque en un sistema no homogéneo (por ejemplo, el cuerpo humano) la densidad varía de un punto a otro.

Un material homogéneo es aquel en que sus propiedades son iguales en todos sus puntos. Para este tipo de materiales

$\rho\neq\rho(\vec{r})\qquad \Rightarrow\qquad \rho=\frac{M}{V}\qquad\qquad M=\rho\,V$

A menudo, un sistema compuesto está formado por varias partes cada una de las cuales es homogénea. En ese caso

$M=\sum_k \rho_k V_k\,$

En ese caso podemos definir una densidad media como

$\rho_m=\frac{M}{V}=\dfrac{\sum_k \rho_k V_k}{\sum_k V_k}$

3.2 Superficial

Aunque en principio todas las masas ocupan un volumen en el espacio hay ocasiones (una chapa metálica, una hoja de papel,…) en las que se concentran en una superficie de pequeño espesor. En ese caso, se define la densidad superficial de masas

$\sigma=\frac{1}{\Delta S}\sum_{m_i\in\Delta S}m_i$

Esta densidad de masa se mide en kg/m² en el SI.

La densidad superficial de masa, como la volumétrica, es una función de la posición, por lo que la masa total será la suma de las de todos los trozos en que se divide la superficie

$\mathrm{d}M=\sigma\,\mathrm{d}S\qquad\Rightarrow\qquad M=\int_M\mathrm{d}M=\int_S\sigma\,\mathrm{d}S$

En una superficie de un material homogéneo (y que además tenga el mismo espesor en todos sus puntos)

$\sigma\neq\sigma(\vec{r})\qquad \Rightarrow\qquad \sigma=\frac{M}{S}\qquad\qquad M=\sigma\,S$

3.3 Lineal

De la misma manera, para hilos y cables, es útil definir la densidad lineal de masa, que se mide en kg/m,

$\mu=\frac{1}{\Delta l}\sum_{m_i\in\Delta l}m_i$

de manera que la masa total de un hilo es

$\mathrm{d}M=\mu\,\mathrm{d}l\qquad\Rightarrow\qquad M=\int_M\mathrm{d}M=\int_L\mu\,\mathrm{d}l$

Para un hilo homogéneo

$\mu\neq\mu(\vec{r})\qquad \Rightarrow\qquad \mu=\frac{M}{L}\qquad\qquad M=\mu\,L$

4 Centro de masas (CM)

4.1 Definición

El centro de masas (CM) de un sistema de partículas es una media ponderada, según la masa individual, de las posiciones de todas las partículas que lo componen

$\vec{r}_G = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+\cdots}{m_1+m_2+\cdots} = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+\cdots}{M}$

Equivalentemente se cumple

$M\vec{r}_G = m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+\cdots$

En el caso de un sistema continuo, habrá que sumar para todos los elementos que lo componen

$\vec{r}_G = \frac{1}{M}\int_M \vec{r}\,\mathrm{d}m = \frac{1}{M}\int_V \vec{r}\,\rho\,\mathrm{d}{}V$

El centro de masas siempre ocupará una posición intermedia entre las posiciones de las diferentes partículas del sistema. Así, en un triángulo formado por masas iguales, el centro de masas es el llamado baricentro,que se encuentra siempre en el interior.

No obstante, hay que destacar que el centro de masas de un sistema de partículas no tiene por qué coincidir con ninguna de las partículas que lo componen.

De hecho, en el caso de un sistema sólido, es perfectamente posible que el centro de masas esté fuera del sólido. Por ejemplo, en un salto de altura estilo Fosbury, el atleta pasa por encima del listón, pero su centro de masas pasa por debajo de él (consiguiendo el deportista arrancar así unos cuantos centímetros más en el salto).

4.2 Velocidad del centro de masas

El centro de masas no es un punto fijo, sino que puede desplazarse cuando lo hacen las partículas del sistema. Obtenemos su velocidad derivando la definición respecto al tiempo

$\vec{v}_G = \frac{\mathrm{d}\vec{r}_G}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{M}\left(m_1\frac{\mathrm{d}\vec{r}_1}{\mathrm{d}t}+m_1\frac{\mathrm{d}\vec{r}_1}{\mathrm{d}t}+\cdots\right) = \frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2+\cdots...}{M}$

4.3 Aceleración del centro de masas

Derivando de nuevo respecto al tiempo, hallamos la aceleración con la que se mueve el centro de masas.

$\vec{a}_G = \frac{\mathrm{d}\vec{v}_G}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{M}\left(m_1\frac{\mathrm{d}\vec{v}_1}{\mathrm{d}t}+m_1\frac{\mathrm{d}\vec{v}_1}{\mathrm{d}t}+\cdots\right) = \frac{m_1\vec{a}_1+m_2\vec{a}_2+\cdots...}{M}$

4.4 Posición relativa al centro de masas

Una vez definida la posición del centro de masas, interesa indicar dónde están situadas las partículas respecto al CM. Esto se consigue definiendo la posición relativa

${\vec{r}_i}^{\,,} = \vec{r}_i-\vec{r}_G$

Dado que la posición del centro de masas respecto a sí mismo es evidentemente nula, se cumple

$\vec{0}=\vec{r}^{\,,}_G \qquad \Rightarrow\qquad m_1\vec{r}^{\,,}_1+m_2\vec{r}^{\,,}_2 +\cdots = \vec{0}$

De manera análoga se define la velocidad relativa al CM

${\vec{v}_i}^{\,,} = \vec{v}_i-\vec{v}_G$

y, del mismo modo que con la posición

$\vec{0}=\vec{v}^{\,,}_G \qquad \Rightarrow\qquad m_1\vec{v}^{\,,}_1 + m_2\vec{v}^{\,,}_2 +\cdots = \vec{0}$

ya que el centro de masas no se mueve respecto a sí mismo.

5 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento (o momento lineal) del sistema es la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas

$\vec{p} = \vec{p}_1+\vec{p}_2+\cdots = m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2 + \cdots$

La cantidad de movimiento se relaciona directamente con el centro de masas del sistema. Derivando respecto al tiempo la relación

$M\vec{r}_G = m_1 \vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2+\cdots$

obtenemos

$M \frac{\mathrm{d}\vec{r}_G}{\mathrm{d}t} = m_1 \frac{\mathrm{d}\vec{r}_1}{\mathrm{d}t} + m_2\frac{\mathrm{d}\vec{r}_2}{\mathrm{d}t} + \cdots = m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2+\cdots = \vec{p}$

esto es

$\vec{p} = M \vec{v}_G$

En palabras: la cantidad de movimiento del sistema equivale a la que tendría una sola partícula material que concentrara toda la masa del sistema y que se moviera como el centro de masas de éste.

De la relación entre cantidad de movimiento y velocidad del centro de masas se llega a que la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es siempre nula

$\vec{p}^{\,,} = M\vec{v}^{\,,}_G = \vec{0}$

Esto permite redefinir el centro de masas como aquel punto (variable) desde el cual la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un sistema de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistema de referencia se dice que se está estudiando desde el sistema centro de masas.

6 Momento cinético (o angular)

De manera análoga a la cantidad de movimiento, se define el momento cinético (o angular) de un sistema de partículas como la suma vectorial de los momentos cinéticos individuales

$\vec{L}=\vec{L}_1+\vec{L}_2 +\cdots = m_1\vec{r}_1\times\vec{v}_1+m_2\vec{r}_2\times\vec{v}_2+\cdots$

6.1 Descomposición del momento angular

Las ecuaciones de la dinámica de sistemas se simplificarían notablemente si el momento angular, como el lineal, equivaliera al de una partícula puntual que concentrara toda la masa. No es así.

Para relacionar el momento angular con el centro de masa, descomponemos cada posición y cada velocidad en suma de la del centro de masas más la posición o velocidad relativas

$\vec{r}_i = \vec{r}_G+\vec{r}^{\,,}_i\,$ $\vec{v}_i = \vec{v}_G+\vec{v}^{\,,}_i\,$

Con esta descomposición, el momento angular de cada partícula se separa en cuatro términos

$\vec{L}_i = m_i(\vec{r}_G+\vec{r}^{\,,}_i)\times( \vec{v}_G+\vec{v}^{\,,}_i)= m_i\vec{r}_G\times\vec{v}_G+m_i\vec{r}^{\,,}_i\times \vec{v}_G+m_i\vec{r}_G\times\vec{v}^{\,,}_i+m_i\vec{r}^{\,,}_i\times\vec{v}^{\,,}_i$

Al sumar los momentos cinéticos individuales para obtener el momento angular total nos quedan cuatro sumas, en cada una de las cuales podemos sacar factor común la posición o la velocidad del CM, que es una cantidad que no depende del índice $i$

$\vec{L} = M\vec{r}_G\times\vec{v}_G +(M\vec{r}^{\,,}_G)\times\vec{v}_G + \vec{r}_G\times(M\vec{v}^{\,,}_G)+\left(m_1\vec{r}^{\,,}_1\times\vec{v}^{\,,}_1+m_2\vec{r}^{\,,}_2\times\vec{v}^{\,,}_2+\cdots\right)$

El segundo y el tercer término en la expresión del momento cinético total se anulan y la expresión se reduce a

$\vec{L}= M\vec{r}_G\times\vec{v}_G+\vec{L}'$

donde

$\vec{L}'= m_1\vec{r}^{\,,}_1\times\vec{v}^{\,,}_1+m_2\vec{r}^{\,,}_2\times\vec{v}^{\,,}_2+\cdots$

es el momento cinético relativo al centro de masas. Empleando la notación del tema de dinámica, lo denotaríamos como $\vec{L}_G$ .

Según esto, el momento angular o cinético de un sistema de partículas se compone de dos contribuciones: el momento angular que tendría una partícula que contuviera toda la masa y se moviera como el centro de masas del sistema, más el momento angular que tienen las partículas por moverse alrededor del centro de masas.

Un ejemplo físico sencillo de esta descomposición lo tenemos en el momento angular de la Tierra en cuanto planeta del Sistema Solar. Su momento angular se compone de una parte debida al movimiento de traslación alrededor del Sol (lo que se conoce como momento angular orbital), que sería el primer término, más otra parte debida al movimiento de rotación alrededor de su eje (el llamado momento angular intrínseco), que sería $\vec{L}'$ .

7 Energía cinética

La energía cinética del sistema es la suma escalar de las energías cinéticas individuales

$K = K_1+K_2+\cdots = \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2 + \cdots$

7.1 Descomposición de la energía cinética

Para la energía cinética podemos efectuar una descomposición análoga a la del momento cinético. Escribiendo cada velocidad como suma de la del CM más la relativa

$\vec{v}_i = \vec{v}_G+\vec{v}^{\,,}_i$

queda, para la energía cinética individual,

$K_i = \frac{1}{2}m_i(\vec{v}_G+\vec{v}^{\,,}_i)\cdot(\vec{v}_G+\vec{v}^{\,,}_i) = \frac{1}{2}m_iv_G^2+m_i\vec{v}^{\,,}_i\cdot\vec{v}_G+\frac{1}{2}m_i{v^,_i}^2$

y para la energía cinética total

$K = \frac{1}{2}Mv_G^2+(M\vec{v}_G^{\,,})\cdot\vec{v}_G +\left(\frac{1}{2}m_1{v^,_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v^,_2}^2+\cdots\right)$

El segundo término se anula por aparecer en él $\vec{p}^{\,,}=\vec{0}$ , lo que reduce la energía cinética a

$K = \frac{1}{2}Mv_G^2 + K^,$

con

$K^, = \frac{1}{2}m_1{v^,_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v^,_2}^2 + \cdots$

la energía cinética del sistema relativa al centro de masas.

Esta descomposición se interpreta como que el sistema posee una energía cinética por el movimiento de traslación colectivo, más un término debido al movimiento sobre sí mismo. Esta energía cinética intrínseca, $K,$ es parte de la energía interna del sistema. Puede estar asociada a:

un movimiento organizado. Por ejemplo, en la rotación de la Tierra alrededor de su eje.
un movimiento desorganizado. Por ejemplo, en un gas que se encuentra a una cierta temperatura, el centro de masas puede estar estacionario y sin embargo el gas posee una energía cinética debido al movimiento de las moléculas que lo componen. Esta energía cinética es lo que llamamos agitación térmica.
una combinación de ambos. Este es el caso general. La energía cinética del sistema parte se encuentra en movimientos macroscópicos (rotación o traslación de partes del sistema) y parte en movimientos microscópicos caóticos.

Por la presencia de estos términos microscópicos caóticos la energía cinética total del sistema es normalmente desconocida. En su lugar el estudio de los sistemas suele limitarse a la suma del término $Mv_G^2/2$ con la suma de la energía cinética intrínseca debida a los movimientos macroscópicos (rotación, vibración, etc.).

Definición y propiedades de un sistema de partículas

De Laplace

Contenido

1 Definición de sistema de partículas

2 Masa total

3 Densidad de masa

3.1 Volumétrica

3.2 Superficial

3.3 Lineal

4 Centro de masas (CM)

4.1 Definición

4.2 Velocidad del centro de masas

4.3 Aceleración del centro de masas

4.4 Posición relativa al centro de masas

5 Cantidad de movimiento

6 Momento cinético (o angular)

6.1 Descomposición del momento angular

7 Energía cinética

7.1 Descomposición de la energía cinética

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