Curva de potencial quebrada

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Primer punto de retorno
3 Movimiento entre puntos de retorno
4 Disipación de energía

1 Enunciado

Una partícula de masa $m=1\,\mathrm{kg}$ se mueve a lo largo del eje OX, sometida a la acción de una fuerza conservativa cuya energía potencial es la de la gráfica. Inicialmente se encuentra en $x=2\,\mathrm{m}$ moviéndose hacia el semieje OX negativo con velocidad $v_0=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

¿En qué punto se detiene por primera vez?
¿Qué tipo de movimiento describe la partícula entre $x=-2\,\mathrm{m}$ y un punto de retorno?
Suponga que la masa se ve sometida adicionalmente a una fuerza de rozamiento que la va frenando hasta detenerla por completo. ¿Cuánta energía se disipa hasta que se detiene?

2 Primer punto de retorno

La partícula se encuentra inicialmente en $x = 2\,\mathrm{m}$ . De acuerdo con la gráfica, la energía potencial en este punto vale

$U(x=2\,\mathrm{m})=-1\,\mathrm{J}$

Además de esta energía potencial, la partícula posee una cierta energía cinética, de valor

$K = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}\left(1\,\mathrm{kg}\right)\left(2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2 = 2\,\mathrm{J}$

con lo que la energía mecánica de la partícula vale en el instante inicial

$E = K + U = 2\,\mathrm{J}-1\,\mathrm{J}=+1\,\mathrm{J}$

Puesto que la partícula se encuentra sometida solo a una fuerza conservativa, esta energía permanece constante, lo que se representa en la gráfica por una línea horiozntal

Esta gráfica nos describe completamente el movimiento. La partícula oscila entre los dos puntos de retorno, que son aquellos en que la línea de energía mecánica corta a la energía potencial. En ellos la energía cinética se hace cero, lo que quiere decir que en ellos la partícula se para. La detención es solo instantánea, pues al no ser nula la fuerza, la partícula comienza inmediatamente a moverse en sentido contrario.

Los dos puntos de retorno para esta energía están en $x=-5\,\mathrm{m}$ y $x = +4\,\mathrm{m}$ . Puesto que se nos dice que la partícula se mueve inicialmente en el sentido del eje OX negativo, el punto en el que se detiene (instantáneamente) por primera vez es

$x = -5\,\mathrm{m}$

3 Movimiento entre puntos de retorno

Debido a la conservación de la energía mecánica, la partícula se mueve de manera oscilatoria entre los dos puntos de retorno. Sin embargo, este movimiento no es armónico simple.

La fuerza que actúa sobre la partícula en cada punto la da la derivada de la energía respecto a la posición, cambiada de signo. Puesto que en la gráfica queda claro que la curva de potencial está formado por dos tramos rectilíneos, de pendiente constante, la fuerza en cada tramo entre el mínimo y un punto de retorno es constante.

El movimiento de una partícula sometida a una fuerza constante es uno de aceleración constante. Por tanto, el movimiento en cada tramo es uniformemente acelerado.

Podemos hallar la fuerza y la aceleración en cada tramo. La derivada en cada uno es igual a la pendiente de cada recta. Esta pendiente se puede calcular simplemente dividiendo un incremento en la vertical entre uno en la horizontal y resulta

$F = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}=\begin{cases} +2\,\mathrm{N} & -5\,\mathrm{m} \leq x < -2\,\mathrm{m} \\ -1\,\mathrm{N} & -2\,\mathrm{m} \leq x < +4\,\mathrm{m} \end{cases}$

Puesto que la masa es la unidad, los mismos valores nos dan la aceleración

$a = \frac{F}{m}=\begin{cases} +2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2 & -5\,\mathrm{m} \leq x < -2\,\mathrm{m} \\ -1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2 & -2\,\mathrm{m} \leq x < +4\,\mathrm{m} \end{cases}$

Conocida la aceleración podríamos determinar, si quisiéramos, como varía la posición con el tiempo o cuánto vale el periodo de oscilación.

4 Disipación de energía

Si en el sistema existen fuerzas disipativas, la energía mecánica no se mantiene constante, sino que va decreciendo. Cuando la disipación consigue detener a la partícula por completo, el estado es el de energía cinética nula y mínima energía potencial. En este caso, esta situación se en $x = -2\,\mathrm{m}$ para la cual $U = -5\,\mathrm{J}$ . Por tanto, la energía total disipada es