De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Un cono con ángulo de abertura $π / 4$ y radio de la base $R$ se mueve de modo que rueda sin deslizar sobre el plano fijo "1" y su vértice $C$ permanece fijo sobre el eje $O Z 1$ . La base del cono permanece siempre perpendicular al plano $O X 1 Y 1$ . El sólido auxiliar "0" se escoge de modo que el plano $X 0 Z 0$ contiene siempre a los puntos $A$ , $B$ y $C$ del cono. El sólido "0" rota alrededor del eje $O Z 1$ con velocidad angular constante $\vec{\Omega} = \Omega\,\vec{k}_{0,1}$ .

Localiza y dibuja los ejes de rotación de los movimientos {01}, {20} y {21}. ¿Qué tipo de eje es cada uno de ellos?
Calcula las reducciones cinemáticas en $G$ de los tres movimientos relativos.
Calcula las derivadas temporales de las reducciones cinemáticas en $G$ de los tres movimientos relativos.

2 Solución

2.1 Análisis del enunciado

De los datos del enunciado podemos deducir los siguientes hechos:

El cono rueda sin desliar sobre el plano, por tanto $\vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{0}$ .
El punto $C$ es fijo sobre el eje $O Z 1$ . Entonces $\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0}$ .
Del dibujo vemos que el movimiento {01} es un par de revolución con $\vec{v}^{\,O}_{01}=\vec{0}$ y $\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_{0,1}$ .
También relacionado con este movimiento vemos que el centro de la base del cono no se mueve respecto al plano $O X 0 Z 0$ , por lo que $\vec{v}^{\,G}_{20}=\vec{0}$ .

2.2 Ejes de los movimientos

La figura de la derecha muestra la localización de los ejes. Son Como $\vec{v}^{\,O}_{01}=\vec{0}$ y $\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{\omega}_{01}$ , el eje del movimiento {01} es $\Delta^{EPR}_{01}\equiv OZ_1$ . Es un eje permanente de rotación.

Como $\vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{0}$ tenemos $\Delta^{EIR}_{21}\equiv CA$ . Es un eje instantáneo de rotación.

Por último, con la composición {21}={20} + {01}. Aplicándola en $C$ tenemos

$\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{v}^{\,C}_{20} + \vec{v}^{\,C}_{01} \Longrightarrow \vec{v}^{\,C}_{20}=\vec{v}^{\,C}_{21} - \vec{v}^{\,C}_{01} = \vec{0}$

Además, $\vec{v}^{\,G}_{20}$ , por lo que el eje del movimiento {20} es $\Delta^{EPR}_{20}$ es un eje permanente de rotación.

2.3 Reducciones cinemáticas

Movimiento {01} En el análisis previo ya hemos obtenido la reducción cinemática de este movimiento

$\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_{0,1}, \qquad \vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0}.$

Movimiento {20} Del análisis de los ejes tenemos

$\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\imath}_{0}, \qquad \vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}.$

Movimiento {21} Usando la composición {21} = {20} + {01} obtenemos

$\begin{array}{l} \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \omega_{20}\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0.\\ \\ \vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01}= \vec{v}^{\,G}_{01} \end{array}$

Para calcular esta velocidad usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}

$\vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG} = (\Omega\,\vec{k}_0)\times(R\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0) = R\Omega\,\vec{\jmath}_0.$

Por otro lado sabemos que $\vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{0}$ . Usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} obtenemos

$\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} = (\omega_{20}\,\vec{\imath}_0)\times(R\,\vec{k}_0) = -R\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0.$

Comparando los dos valores obtenemos $ω 20 = - Ω$ .

Con esto tenemos las tres reducciones cinemáticas

$\begin{array}{ll} \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_0, & \vec{v}^{\,G}_{01}=R\Omega\,\vec{\jmath}_0,\\ \\ \vec{\omega}_{20} = -\Omega\,\vec{\imath}_0, & \vec{v}^{\,G}_{20}=\vec{0},\\ \\ \vec{\omega}_{21} = \Omega\,(-\vec{\imath}_0 + \vec{k}_0), & \vec{v}^{\,G}_{21}=R\Omega\,\vec{\jmath}_0. \end{array}$

2.4 Derivadas temporales de la reducciones cinemáticas

Movimiento {01}: al ser una rotación de eje permanente tenemos

$\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1= \vec{0},\\ \\ \vec{a}^{\,O}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1= \vec{0}. \end{array}$

Usamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01} para calcular la aceleración en $G$

$\vec{a}^{\,G}_{01} = \vec{a}^{\,O}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OG} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}) = -R\Omega^2\vec{\imath}_{0}.$

Movimiento {20}: también es una rotación de eje permanente, por lo que

$\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0= \vec{0},\\ \\ \vec{a}^{\,G}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,G}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0= \vec{0}. \end{array}$

Movimiento {21} Utilizamos las leyes de composición

$\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = -\Omega^2\,\vec{\jmath}_0,\\ \\ \vec{a}^{\,G}_{21} = \vec{a}^{\,G}_{20} + \vec{a}^{\,G}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,G}_{20} = -R\Omega^2\,\vec{\imath}_0. \end{array}$

Cono rotando con punto fijo (Nov. 2018)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Análisis del enunciado

2.2 Ejes de los movimientos

2.3 Reducciones cinemáticas

2.4 Derivadas temporales de la reducciones cinemáticas

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