Condensador plano de capacidad ajustable GIA

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Las armaduras de un condensador plano tienen una superficie $S=10\, \mathrm{cm}^2$ y están separadas una distancia $a=2\,$ mm. El condensador se carga con una batería de 9 V y después se desconecta de la batería. A continuación se coloca una placa de material dieléctrico de espesor $d=1\,\mathrm{mm}\,$ y de constante dieléctrica

κ = 2

pegada a una de sus armaduras. Calcular:

Carga eléctrica en cada armadura del condensador.
Capacidad del condensador con el dieléctrico.
Distancia adicional que deben separarse las armaduras del condensador después de introducir el dieléctrico para que su capacidad sea la misma que tenía antes de introducir el dieléctrico.
Energía electrostática almacenada en el condensador relleno de aire, con la placa dieléctrica y después de separar las armaduras.

2 Solución

En el sistema de conductores planos descrito, la distancia

a

de separación entre las placas es considerablemente menor que las dimensiones de los conductores. Considerando que éstos fueran aproximadamente cuadrados, y con los valores indicados en el enunciado, se tendría que la relación entre las longitudes de los lados de las armaduras metálicas y la distancia que las separa es del orden de... $\frac{\sqrt{S}}{a}\approx 16\, \mathrm{,}$

suficiente para considerar en primera aproximación que, una vez cargados los planos conductures y alejados de otras distrubciondes de carga, aquéllos se van a encontrar en influencia total. Es decir, todas las líneas del campo eléctrico que salen de una placa terminan en la otra, de manera que ambas van a almacenar cantidades opuestas de carga, $Q$ y $- Q$ . Además, podemos considerar que la carga eléctrica se distribuirá casi uniformemente en cada una de las superficies interiores (enfrentadas) de las placas conductoras, pudiendo despreciarse los efectos de acumulación de carga eléctrica en los bordes. Es decir, el sistema bajo estudio se aproxima bastante al modelo ideal de condensador plano paralelo, cuya capacidad eléctrica (es decir, la relación entre la carga en uno de los conductores y al diferencia de potencial entre ambos), es

$C_0=\frac{Q}{V_1-V_2}\simeq\frac{\varepsilon_0\!\ S}{a}\approx 4.42\,\mathrm{pF}\,$

cuando las placas o armaduras conducturas de sección $S$ están separadas por una distancia $a$ vacía (ausente de cualquier medio material).

2.1 Carga eléctrica en las armaduras

Si las placas se conectan a una batería que establece un valor fijo de diferencia de potencial entre ellas, almacenarán cantidades opuestas de carga eléctrica, $\pm Q_0$ :

$V_1-V_2=V_0=9\,\mathrm{V}\quad\Longrightarrow\quad Q_0=C_0\!\ V_0\simeq 39.8\,\mathrm{pC}\,$

Una vez cargado el condensador, se desconecta la batería. Al quedar las placas aisladas, éstas mantendrán las cantidades de carga $\pm Q_0$ . Y como la capacidad eléctrica es un factor que depende de la geometría del sistema y ésta no ha cambiado, la diferencia de potencial entre los conductores seguirá siendo de 9 V, a pesar de que ya no están conectados a los bornes de la batería.

2.2 Capacidad con la lámina de dieléctrico

Si un condensador se rellena con un medio dieléctrico lineal, la capacidad aumenta en un factor $κ$ denominado constante dieléctrica del material. Además, cambia la geometría del sistema al reducirse el espesor de la región vacía al valor $a - d$ . Por tanto, la introducción de la lámina dieléctrica de espesor $d$ hará cambiar la capacidad del sistema bajo estudio, aunque no rellene completamente el espacio entre las placas conductoras. En consecuencia, cambia la relación entre carga almacenada en los conductores y diferencia de potencial entre ellos. Y si la carga no puede cambiar por estar los conductores aislados (desconectados), debe hacerlo la diferencia de potencial entre las placas, si bien, se seguirá cumpliendo que éstas deben ser superficies equipotenciales.

$\frac{Q_0}{V_1-V_2}=\frac{Q_0}{V}=C$

Como la distancia entre las placas sigue siendo pequeña frente a sus dimensiones podemos asegurar que el campo eléctrico mantiene su dirección perpendicular a los planos conductores en toda la región comprendida entre ellos. En consecuencia, las superficies equipotenciales serán planos paralelos a los conductores. Fijémonos en la superficie equipotencial que coincide con la interfaz (superficie de separación) dieléctrico-aire. Como son ambos son medios dieléctricos que consideraremos ideales, no puede haber allí carga eléctrica libre. Obsérvese que dicha superficie tiene las mismas características eléctricas que una virtual superficie conductora descargada y aislada y, por tanto, es equivalente a ella. Es decir, las propiedades eléctricas del sistema con dieléctrico no se verían modificadas si se colocase una lámina conductora delgada, aislada y sin carga, en la superficie del dieléctrico, separándolo de la región vacía. En consecuencia, el sistema parcialmente relleno es equivalente a la asociación en serie de dos condensadores planos de igual sección $S$ . Uno completamente relleno de un dieléctrico de constante $κ = 2$ y espesor $d=1\,\mathrm{mm}$ , y otro vacío con una separación entre conductores $a-d=1\,\mathrm{mm}$ .

Las capacidades de los condensadores de la asociación son:

$C_\mathrm{a}=\frac{Q_0}{V_1-V_f}\simeq\kappa\ \frac{\varepsilon_0\!\ S}{d}\approx 17.7\,\mathrm{pF}\,\mathrm{;}\qquad C_\mathrm{b}=\frac{Q_0}{V_f-V_2}\simeq \frac{\varepsilon_0\!\ S}{a-d}\approx 8.84\,\mathrm{pF}$

Para obtener el valor de la capacidad equivalente $C$ aplicamos que la carga almacenada en cada uno de los de la asociación en serie es la misma que en el equivalente. Y la diferencia de potencial en éste debe ser la suma de las diferencias de potencial en los de la asociación. Es decir,

$\frac{1}{C}=\frac{V_1-V_2}{Q_0}=\frac{(V_1-V_f)+(V_f-V_2)}{Q_0}=\frac{1}{C_\mathrm{a}}+\frac{1}{C_\mathrm{b}}\quad\Longrightarrow\quad C=\frac{C_\mathrm{a}C_\mathrm{b}}{C_\mathrm{a}+C_\mathrm{b}}\approx 5.90\,\mathrm{pF}\,$

donde $V_f\,$ será el valor del potencial del conductor flotante virtual $\mathrm{C}_f\,$ en el sistema equivalente. Es decir, ese será el valor de la equipotencial que coincide con la interfaz aire-dieléctrico.

En definitiva, al introducir la lámina dieléctrica entre los planos conductores cuando éstos se hallaban aislados y cargados con las cantidades $\pm Q_0$ , la diferencia de potencial entre ellos disminuye hasta un valor:

$V_1-V_2=V=\frac{Q_0}{C}\approx 6.75\,\mathrm{V}\,$

2.3 Ajuste de la capacidad del condensador

Un desplazamiento $Δ a$ de una de las placas conductoras produce un cambio en la geometría del sistema y, por tanto, de su capacidad eléctrica. En la asociación en serie equivalente, el desplazamiento de uno de los planos conductores se traduce en el cambio de la capacidad del condensador vacío, mientras que el relleno de dieléctrico permanece invariable a no modificarse la forma o posición de la lámina. La capacidad equivalente $C\!\ '$ será:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle C_\mathrm{a}\simeq\kappa\ \frac{\varepsilon_0\!\ S}{d}\\ \\ \displaystyle C\!\ '_\mathrm{b}\simeq \frac{\varepsilon_0\!\ S}{a-d+\Delta a}\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\;\;\frac{1}{C\!\ '}=\frac{1}{C_\mathrm{a}}+\frac{1}{C\!\ '_\mathrm{b}}=\frac{d}{\kappa\!\ \varepsilon_0 \!\ S}+\frac{a-d+\Delta a}{\varepsilon_0 \!\ S}$

Si se quiere determinar el valor del $Δ a$ para que el condesador equivalente con lámina dieléctrica vuelva a tener la misma capacidad $C 0$ que antes de introducirla, se deberá cumplir:

$\frac{1}{C\!\ '}=\frac{1}{\varepsilon_0 \!\ S}\ \left( \frac{d}{\kappa}+a-d+\Delta a\right)=\frac{a}{\varepsilon_0 \!\ S}=\frac{1}{C_0}\quad\Longrightarrow\quad\Delta a=d\left(1-\frac{1}{\kappa}\right)=0.5\,\mathrm{mm}\,$

En esta situación, la diferencia de potencial entre las armaduras del condensador vuelve a ser la inicial $V 0$ establecida al conectar la batería:

$V_1-V_2=\frac{Q_0}{C\!\ '}=\frac{Q_0}{C_0}=V_0=9\,\mathrm{V}\,$

2.4 Energía electrostática en el sistema

Como sabemos, en un sistema eléctrico con $N$ conductores en equilibrio, la energía electrostática almacenada es:

$U_e=\frac{1}{2}\ \sum_{i=1}^N Q_i\!\ V_i$

donde $Q i$ y $V i$ son, respectivamente, la carga eléctrica distribuida en la superficie del conductor $i$ -ésimo y el valor del potencial al que se encuentra (medido respecto del infinito, donde se establece la referencia $V = 0$ ). Por tanto, en un condensador, donde los conductores se hallan en influencia total y las cantidades de carga en los dos conductores son opuestas, se tendrá:

$U_e=\frac{1}{2}\ Q\ (V_1-V_2)=\frac{1}{2}\ \frac{Q^2}{C_\mathrm{cond}}=\frac{1}{2}\ C_\mathrm{cond}\!\ (V_1-V_2)^2$

En consecuencia, las energías almacenadas en sistema en las tres configuraciones analizadas serán:

En condensador vacío: ${}\quad U_e^0=\frac{1}{2}\ Q_0\ V_0=\frac{1}{2}\ \frac{Q_0^2}{C_0}=179\,\mathrm{pJ}\,$

En condensador con lámina dieléctrica: ${}\quad U_e=\frac{1}{2}\ Q_0\ V=\frac{1}{2}\ \frac{Q_0^2}{C}=134\,\mathrm{pJ}\,$

En condensador vacío: ${}\quad U_e'=\frac{1}{2}\ Q_0\ V\!\ '=\frac{1}{2}\ \frac{Q_0^2}{C\!\ '}=\frac{1}{2}\ Q_0\ V_0=179\,\mathrm{pJ}\,$

Es decir, al colocar el dieléctrico a carga constante, disminuye la energía electrostática almacenada en el sistema. En consecuencia, es el campo eléctrico existente entre las placas el que realiza un trabajo para introducir la lámina dieléctrica. Por el contrario, para recuperar el valor de capacidad y diferencia de potencial desplazando una de los planos conductores, es necesario realizar un trabajo externo que se transforma en un aumento de la energía eléctrica almacenada en el sistema.

Condensador plano de capacidad ajustable GIA

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Carga eléctrica en las armaduras

2.2 Capacidad con la lámina de dieléctrico

2.3 Ajuste de la capacidad del condensador

2.4 Energía electrostática en el sistema

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