Condensador esférico relleno parcialmente de dieléctrico

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene un condensador esférico, formado por dos superficies metálicas de radios $a$ y $b$ . Para mantenerla en su posición, la esfera central está sujeta por dos cuñas dieléctricas sólidas, de permitividad $\varepsilon$ . Las cuñas tienen forma de sectores esféricos, valiendo el semiángulo $\theta_0=\pi/3\,$ para las dos cuñas. El resto del espacio entre las esferas queda vacío.

Halle la capacidad de este condensador.

2 Solución

Este condensador es muy similar al descrito en el problema de dos bloques adyacentes, con la única diferencia de que el dieléctrico, en lugar de ocupar dos paralelepípedos, ocupa dos sectores esféricos.

La misma solución matemática que se explica aquí, se expone también en el problema de la fuerza sobre una esfera conductora situada entre dos dieléctricos.

Para hallar la capacidad suponemos primero una cierta diferencia de potencial entre la esfera interior y la exterior. A continuación, calculamos el campo y el desplazamiento eléctrico en cada medio. De aquí hallamos la carga almacenada en la esfera interior. El cociente entre esta carga y la diferencia de potencial nos da la capacidad.

Suponemos entonces un potencial $V 0$ en $r = a$ . Si admitimos que el campo es radial en cada medio,

$\mathbf{E}_i = E_i\mathbf{u}_{r}$ $\mathbf{D}_i = D_i\mathbf{u}_{r}$

la ley de Gauss para el vector desplazamiento nos da, en cada región

$0 = \nabla{\cdot}\mathbf{D}_i =\frac{1}{r^2}\frac{\partial\ }{\partial{}r}\left(r^2D_i\right)$ $\Rightarrow$ $D_i = \frac{k_i}{r^2}$ $E_i = \frac{k_i}{\varepsilon_i]r^2}$

El que el campo eléctrico sea irrotacional conduce a que no dependa ni de $θ$ ni de $\varphi$ . Las constantes $k 1$ y $k 2$ las podemos relacionar a través de las condiciones de salto en la frontera del dieléctrico.

El vector normal a esta frontera es $\mathbf{u}_{\theta}$ , ya que las superficies cónicas son de $θ = cte$ . Esto hace que el salto en las componentes normales no aporte información

$0=\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{D}] = \mathbf{u}_{\theta}{\cdot}\left(\frac{k_2}{r^2}\mathbf{u}_{r}-\frac{k_1}{r^2}\mathbf{u}_{r}\right) = 0-0$

En cambio, la de las componentes tangenciales nos dice que el campo tiene el mismo valor en el medio y en el vacío

$0= \mathbf{n}\times[\mathbf{E}] =\mathbf{u}_{\theta}\times\left(\frac{k_2}{\varepsilon_0 r^2}\mathbf{u}_{r}-\frac{k_1}{\varepsilon r^2}\mathbf{u}_{r}\right) = -\left(\frac{k_2}{\varepsilon_0}-\frac{k_1}{\varepsilon}\right)\frac{\mathbf{u}_{\varphi}}{r^2}$ $\Rightarrow$ $\frac{k_2}{\varepsilon_0} = \frac{k_1}{\varepsilon} \equiv A$

Queda por determinar el valor de $A$ , que lo obtenemos de la diferencia de potencial

$V_0 = \int_a^b E\,\mathrm{d}r = \int_a^b \frac{A}{r^2}\,\mathrm{d}r = \frac{A(b-a)}{ab}$

con lo que el campo en todos los puntos entre las esferas vale

$\mathbf{E} = \frac{V_0 a b}{(b-a) r^2}\mathbf{u}_{r}$

Debemos ahora determinar el valor de la carga libre almacenada en la esfera interior. Esto lo hacemos por medio de la ley de Gauss en forma integral

$Q_l = \oint \mathbf{D}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}$

La integral la hacemos sobre una superficie esférica de radio $r$ concéntrica con la esfera. Se compone de tres partes, una por cada cuña dieléctrica, más el espacio vacío. La cuña superior se extiende desde $θ = 0$ a $θ = θ 0$ . El hueco desde ahí hasta $π - θ 0$ y la segunda cuña desde este punto hasta $θ = π$

$Q_l = \int_0^{2\pi}\!\!\!\! \mathrm{d}\varphi\int_0^{\theta_0} \!\!\!\!\mathrm{d}\theta\,\mathrm{sen}\theta r^2\,\frac{\varepsilon A}{r^2} + \int_0^{2\pi}\!\!\!\! \mathrm{d}\varphi\int_{\theta_0}^{\pi-\theta_0}\!\!\!\!\!\!\!\! \mathrm{d}\theta\,\mathrm{sen}\theta r^2\,\frac{\varepsilon_0 A}{r^2} + \int_0^{2\pi}\!\!\!\! \mathrm{d}\varphi\int_{\pi - \theta_0}^\pi\!\!\!\!\!\!\!\! \mathrm{d}\theta\,\mathrm{sen}\theta r^2\,\frac{\varepsilon A}{r^2}=$ $\,=2\pi A\left(\varepsilon(1-\cos\theta_0) + \varepsilon_0 (\cos\theta_0-\cos(\pi-\theta_0)) + \varepsilon (\cos(\pi- \theta_0)-\cos\pi)\right) = 4\pi A \left(\varepsilon(1-\cos\theta_0) + \varepsilon_0\cos\theta_0\right)$

Sustituyendo los valores de $θ 0$ y $A$ resulta, para la carga

$Q = \frac{2\pi(\varepsilon+\varepsilon_0) a b V_0}{b-a}$

y, para la capacidad

$C = \frac{2\pi(\varepsilon+\varepsilon_0) a b}{b-a} = \frac{2\pi\varepsilon a b}{b-a} + \frac{2\pi\varepsilon_0 a b}{b-a}$

Vemos que la capacidad resultante equivale a la de dos condensadores puestos en paralelo, uno compuesto por el dieléctrico y otro por el hueco intermedio.

Sin embargo, la capacidad de cada uno es la mitad de una esfera completa, no la tercera o dos terceras partes. Aunque en una sección el dieléctrico ocupe $2 / 3$ de la corona circular, su volumen es la mitad de la corona esférica, ya que hay que tener en cuenta la revolución en torno al eje.

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