Colisión con rozamiento

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Velocidad antes del impacto
3 Velocidades tras el impacto
4 Detención de la masa 1
5 Compresión del resorte

1 Enunciado

Sobre una superficie horizontal se encuentran dos masas. La masa $m_1=1.0\,\mathrm{kg}$ se encuentra inicialmente en $x_{10}=0\,\mathrm{m}$ y la masa $m_2=4.0\,\mathrm{kg}$ en $x_{20}=1.0\,\mathrm{m}$ . La masa 2 está unida a un resorte de constante $k=400\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y longitud en reposo $\ell_0=0.50\,\mathrm{m}$ , estando inicialmente en la posición de equilibrio. El tramo de 1 m entre la masa 1 y la 2 es una superficie rugosa, en la que la constante de rozamiento vale μ = 0.45. El resto de la superficie está pulido.

Estando las dos masas en reposo se le aplica una percusión a la masa 1 de forma que esta adquiere una velocidad inicial $v_0=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Determine la velocidad de $m 1$ justo antes de impactar con la masa 2.
Calcule las velocidades de ambas masas justo tras el impacto. Suponga que la colisión es perfectamente elástica.
Halle la posición $x 1 f$ en la que se detiene la masa 1, si llega a hacerlo. Si no se detiene, halle la velocidad con la que llega a su posición inicial.
Halle la posición $x 2 f$ en la que se detiene m_2 por primera vez.

Tómese $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ .

2 Velocidad antes del impacto

Por el teorema trabajo-energía cinética

$\Delta K = W\qquad\Rightarrow\qquad \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2-\frac{1}{2}m_1v_0^2 = -(\mu m_1g )\Delta x$

y da, para la velocidad de impacto

$v_{1i}=\sqrt{v_0^2-2\mu g\,\Delta x} = \sqrt{25-2\times 0.45\times 10\times 1}= 4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

3 Velocidades tras el impacto

Por la conservación de la cantidad de movimiento

$m_1 v_{1i}+m_2 v_{2i}=m_1 v_{1f} + m_2v_{2f}\qquad\Rightarrow\qquad v_{1f}+4v_{2f}=4$

Por ser una colisión elástica

$1 = \frac{v_{2f}-v_{1f}}{v_{1i}-v_{2i}}\qquad\Rightarrow\qquad v_{2f}-v_{1i}=4$

lo que da

$v_{1f}=-2.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad v_{1f}=1.6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

4 Detención de la masa 1

Aplicando el teorema trabajo-energía cinética

$0-\frac{1}{2}m_{1}v_{1f}^2=-\mu m_1 g \,\Delta x \qquad\Rightarrow\qquad \Delta x = \frac{v_{1f}^2}{2\mu g}=\frac{2.4^2}{2\times 0.45\times 10}=0.64\,\mathrm{m}$

Respecto a la posición inicial

$x_f=1.0-0.64 = 0.36\,\mathrm{m}$

5 Compresión del resorte

Por conservación de la energía mecánica

$\frac{1}{2}m_2 v_{2f}^2 + 0 = 0 + \frac{1}{2}k A^2 \qquad\Rightarrow\qquad A= \sqrt{\frac{m_2}{k}}v_{2f}=\sqrt{\frac{4}{400}}1.6=0.16\,\mathrm{m}$

Respecto del origen de coordenadas

$x_{2f}=1.0+0.16 = 1.16\,\mathrm{m}$

Colisión con rozamiento

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2 Velocidad antes del impacto

3 Velocidades tras el impacto

4 Detención de la masa 1

5 Compresión del resorte

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