Características de una onda, Enero 2014 (G.I.C.)

De Laplace

1 Enunciado

La figura muestra una onda sinusoidal que viaja hacia la derecha en dos instantes de tiempo. La linea continua corresponde al instante $t=0.00\,\mathrm{s}$ y la línea a trazos a $t=0.80\,\mathrm{s}$ . Calcula

La velocidad con la que se propaga la onda.
La función matemática que describe la onda.
La velocidad del punto $x = 0$ en el instante $t=0.80\,\mathrm{s}$ .

2 Solución

Si observamos el dibujo, vemos que en $t = 0$ la línea continua corta al eje en los puntos $x = 5, 15, 25\,\mathrm{cm}$ . Para ver la distancia recorrida por la onda el intervalo de tiempo $\Delta t=0.80\,\mathrm{s}$ hemos de fijarnos en los puntos equivalentes de la línea de trazos. De lo tres, el único que aparece en la línea de trazos es el primero. En efecto, en $x=17\,\mathrm{cm}$ la línea de trazos pasa de un valor positivo a un valor negativo, como en el punto $x=5\,\mathrm{cm}$ de la línea continua. Por tanto, la onda ha avanzado una distancia $\Delta s = 12\,\mathrm{cm}$ y su velocidad es

$v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = 15\,\mathrm{cm/s}$

La función de onda puede escribirse de la forma

$y(x,y) = A\,cos(\omega t-kx + \phi) = A\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}t - \dfrac{2\pi}{\lambda}x + \phi\right)$

Si observamos la línea continua, vemos que la distancia entre dos máximos consecutivos es $\lambda=20\,\mathrm{cm}$ , es decir, la longitud de onda. Como tenemos la velocidad, el período de la onda es

$T = \dfrac{\lambda}{v} = \dfrac{4}{3}\,\mathrm{s}$

Con esto tenemos

$y(x,y) = A\cos\left(\dfrac{2\pi}{4/3}t - \dfrac{2\pi}{20}x + \phi\right) = A\cos\left(1.5\pi t - 0.1\pi x + \phi\right)$

También observamos en el dibujo (en $x=0\,\mathrm{cm}$ en la línea continua) que la amplitud de la oscilación es $A = 3.5\,\mathrm{cm}$ .

$y(x,y) = A\cos\left(1.5\pi t - 0.1\pi x + \phi\right) \,(\mathrm{cm})$

Y, por último, en ese mismo punto observamos que la constante de fase es nula $φ = 0$ , pues en $x = 0$ y $t = 0$ el valor de la perturbación es la propia amplitud

$y(0.0) = A = A\cos(\phi) \Longrightarrow \cos\phi=1 \Longrightarrow \phi = 0$