Cantidad de movimiento y momento cinético (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Cantidad de movimiento
2 Momento cinético

1 Cantidad de movimiento

1.1 Definición

Se define la cantidad de movimiento de una partícula como el producto de su masa por su velocidad

$\vec{p}=m\vec{v}\,$

Sus dimensiones son $M L T - 1$ y sus unidades en el SI son $\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}$ (o $\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )

1.2 Teorema de la cantidad de movimiento

A partir de la definición es inmediato que

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=m\vec{a} = \vec{F}$

esto es, la derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas aplicadas sobre la partícula.

1.3 Impulso

En ocasiones, no nos interesa tanto saber cómo cambia la cantidad de movimiento en un intervalo de tiempo infinitesimal, sino saber cuánto varía durante un cierto periodo. Supongamos una partícula que viaja libremente y por tanto con cantidad de movimiento constante $\vec{p}_1$ . Entonces es sometida a una fuerza $\vec{F}(t)$ durante un intervalo entre $t 1$ y $t 2$ (por ejemplo, durante una colisión), a partir del cual vuelve a moverse libremente, con cantidad de movimiento constante $\vec{p}_2$ . Se trata de hallar el incremento en la cantidad de movimiento durante la colisión. Integrando en la segunda ley de Newton obtenemos

$\Delta \vec{p}=\vec{p}_2-\vec{p}_1 = \int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,\mathrm{d}t=\vec{P}$

Esta integral de la fuerza sobre un intervalo recibe el nombre de impulso, por lo que la igualdad anterior establece que

“El incremento de la cantidad de movimiento es igual al impulso recibido”

Esta relación, aparentemente trivial, tiene su importancia en la teoría de colisiones y de percusiones, donde se ignora el valor exacto de la fuerza, pero sí se conoce el valor del impulso.

Así, por ejemplo, en un saque de tenis, la rapidez de la pelota pasa de ser prácticamente nula a valer unos 60 m/s. Dado que la masa de una pelota es de 68 g, esto supone un impulso

$\Delta p = m v - 0 = 4.08\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}$

No conocemos la fuerza instantánea sobre la pelota, puesto que su deformación la convierte en un problema muy complejo. Podemos hallar la fuerza media, si conocemos el tiempo de colisión. Un valor típico podrían ser 30 ms, lo que nos da una fuerza media

$F_m = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{4.08\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}}{0.03\,\mathrm{s}}=136\,\mathrm{N}$

Por comparación, esta fuerza es 2000 veces el peso, o lo que es lo mismo, la pelota experimenta una aceleración de unos 200g.

1.4 Colisión con una pared

Un ejemplo de impulso lo tenemos en una colisión elástica con una pared. En este caso, la fuerza actúa sobre un tiempo muy corto $ε$ , pero es capaz de producir un impulso

$\Delta \vec{p}=\int_{t_0}^{t_0+\epsilon}\vec{F}\,\mathrm{d}t$

Carecemos de una expresión para la fuerza (aunque se puede modelar como una fuerza elástica). Podemos determinar el impulso a partir de su efecto.

1.4.1 Pared estacionaria

Si tenemos una partícula de masa $m$ que impacta frontalmente con una superficie inmóvil se produce un cambio en la velocidad de la partícula, de forma que

La componente tangente a la superficie no cambia
La componente normal cambia de signo.

Supongamos que la superficie es el plano $z = 0$ . En ese caso, si la velocidad inicial es

$\vec{v}_i = v_{x0}\vec{\imath}+v_{z0}\vec{k}$

la velocidad tras la colisión será

$\vec{v}_f = v_{x0}\vec{\imath}-v_{z0}\vec{k}$

siendo el impulso sobre la partícula

$\Delta\vec{p}=m\vec{v}_f-m\vec{v}_i=-2mv_{z0}\vec{k}$

Colisiones como esta explican el concepto de presión a nivel microscópico. Cada una de las partículas de un gas que choca contra las paredes de un recipiente transfiere una cierta cantidad de movimiento. El conjunto de todas las colisiones por unidad de tiempo es una fuerza media. La fuerza por unidad de superficie es la presión.

1.4.2 Pared en movimiento

Si la pared está en movimiento (caso de una raqueta que golpea una pelota), el cambio de signo se da en la velocidad relativa, no en la absoluta.

En el caso unidimensional, si la velocidad inicial de la partícula y de la pared valen

$\vec{v}_i = v_0\vec{\imath}\qquad \qquad \vec{V}=V\vec{\imath}$

la velocidad de la partícula relativa a la pared, antes de la colisión, es

$\vec{v}'_i=\vec{v}_i-\vec{V}=(v_0-V)\vec{\imath}$

Tras la colisión, esta velocidad relativa invierte su sentido

$\vec{v}'_f=-(v_0-V)\vec{\imath}$

por lo que la nueva velocidad absoluta es

$\vec{v}_f = \vec{v}'_f+\vec{V}=(2V-v_0)\vec{\imath}$

Vemos que tras la colisión, la partícula puede moverse más o menos rápido que antes, dependiendo de ambas velocidades. En particular, si la velocidad inicial es nula, sale disparada con una velocidad doble de la raqueta, y si la velocidad inicial es el doble de la de la raqueta, tras la colisión se queda clavada en el sitio.

El impulso en esta colisión es igual a

$\Delta \vec{p}=m\vec{v}_f-m\vec{v}_i=2m(V-v_0)\vec{\imath}$

1.5 Teorema de conservación

De la segunda ley de Newton es inmediato que:

“La cantidad de movimiento de una partícula permanece constante cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella es nula durante un intervalo de tiempo”

$\vec{0}=\vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{p}=\vec{p}_0=\mathrm{cte}$

Puesto que la masa de la partícula permanece constante, si la cantidad de movimiento se conserva, la velocidad también permanece constante

$\vec{p}=\vec{p}_0=\mathrm{cte}$ $\Rightarrow$ $\vec{v}=\frac{\vec{p}}{m}=\mathrm{cte}$

Por tanto, si la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula se anula durante un intervalo de tiempo, la partícula se mueve uniformemente durante dicho periodo.

Esto no es exactamente lo mismo que lo que dice la Primera Ley de Newton, pues esta ley habla de partícula no sometida a ninguna interacción, mientras que el teorema de conservación se refiere a una partícula sometida a diferentes fuerzas, pero tales que su resultante es nula.

Para el caso de una partícula este teorema de conservación aporta poca información nueva. Sin embargo, su extensión al caso de un sistema de partículas es extremadamente útil.

2 Momento cinético

2.1 Definiciones

2.1.1 Momento cinético

Se define el momento cinético (o momento angular) de una partícula respecto a un punto fijo O como

$\vec{L}_O = \vec{r}\times\vec{p}=m\vec{r}\times\vec{v}$

siendo

$\vec{r}=\overrightarrow{OP}$

el vector de posición del punto P relativa al punto O.

2.1.2 Momento de una fuerza

Se define el momento respecto a un punto fijo O de una fuerza aplicada en un punto P como el producto vectorial

$\vec{M}_O = \vec{r}\times\vec{F}=\overrightarrow{OP}\times\vec{F}$

Al momento de una fuerza también se lo denomina “el par de la fuerza” o (por contagio del inglés) el “torque”.

El módulo del momento de una fuerza es igual a

$|\vec{M}_O| = |\vec{F}||\overrightarrow{OP}|\,\mathrm{sen}(\beta)$

pero

$d = |\overrightarrow{OP}|\,\mathrm{sen}(\beta)$

es la distancia a la llamada recta soporte, que es aquella que pasa por P y tiene la dirección de la fuerza. Por tanto, el módulo del momento de la fuerza se puede escribir

$|\vec{M}_O| = |\vec{F}|d$

A la distancia $d$ se la denomina “brazo del momento” o “brazo del par”. De aquí resulta que el valor del momento de una fuerza no depende de la posición exacta del punto P, sino solo de la recta soporte donde se halla.

La dirección del momento de la fuerza es perpendicular al plano definido por $\overrightarrow{OP}$ y la fuerza (es decir, el que contiene a O y a la recta soporte). Su sentido lo da la regla de la mano derecha. Si O está a un lado de la recta soporte, el sentido del momento es hacia afuera del plano; si está al otro es hacia adentro. Cuando el propio punto O se encuentra en la recta soporte

$\overrightarrow{OP}\parallel \vec{F} \qquad\Rightarrow\qquad \vec{M}_O=\vec{0}$

Si tenemos varias fuerzas actuando sobre la misma partícula, la resultante de los momentos es igual al momento de la resultante

$\vec{M}_O=\sum_i \vec{M}_{iO}=\sum_i\vec{r}\times\vec{F}_i = \vec{r}\times\sum_i\vec{F}_i =\vec{r}\times\vec{F}$

2.2 Interpretación del momento cinético

Del mismo modo que la cantidad de movimiento, como su nombre indica, es una medida de cuánto se mueve una partícula (en el sentido de que, por ejemplo, en una colisión, importa tanto la velocidad del proyectil como su masa), el momento cinético mide la cantidad de rotación en torno al punto O.

Esto se ve claro en el caso de un movimiento circular. Si una partícula describe una circunferencia alrededor del punto O, el momento cinético respecto a este punto vale

$\vec{L}_O = m\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{r}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}) = mR^2\vec{\omega}$

Vemos que esta “cantidad de rotación” depende de con qué velocidad se gira, de la masa de la partícula y del radio de la circunferencia.

Esta idea se puede generalizar a movimientos no circulares. Si una partícula describe un movimiento rectilíneo y la observamos desde un punto exterior a la recta, nuestra dirección de observación va girando, aunque la partícula vaya en línea recta. Eso sí, cuanto mayor es la distancia, menor es el cambio de la dirección de observación.

2.3 Cambio del centro de reducción

Si en vez de un punto O, calculamos el momento cinético respecto a otro punto fijo A

$\vec{L}_A = \overrightarrow{AP}\times\vec{p}$

la relación con el del punto O es

$\vec{L}_A=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP})\times\vec{p}=\overrightarrow{AO}\times\vec{p}+\vec{L}_O$

siendo el vector $\overrightarrow{AO}$ uno fijo, independiente del movimiento de la partícula. Invirtiendo el producto vectorial

$\vec{L}_A=\vec{L}_O+\vec{p}\times\overrightarrow{OA}$

Igualmente, para el momento de las fuerzas, tenemos que

$\vec{M}_A = \vec{M}_O+\vec{F}\times\overrightarrow{OA}$

siendo $\vec{F}$ la resultante de las fuerzas aplicadas

2.4 Derivada del momento cinético (Teorema del momento cinético)

Como consecuencia de la segunda ley de Newton, la derivada del momento cinético de una partícula es igual al momento resultante sobre ella

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} =m\left(\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right)\times\vec{v}+m\,\vec{r}\times\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=m\overbrace{\vec{v}\times\vec{v}}^{=\vec{0}}+\vec{r}\times\vec{F}=\vec{M}_O$

Para que esta expresión sea correcta, el punto O debe ser un punto fijo.

2.5 Teorema de conservación

De la expresión para la derivada del momento cinético se deduce su teorema de conservación:

Si la resultante de los momentos de las fuerzas que actúan sobre una partícula es nula, el momento cinético de dicha partícula permanece constante.

$\vec{0} = \vec{M}_O=\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}$ $\Rightarrow$ $\vec{L}_O=\mathrm{cte}$

Una consecuencia inmediata de la conservación del momento cinético es:

La trayectoria de una partícula cuyo momento cinético permanece constante es plana.

El plano en el que ocurre la trayectoria es el definido por el centro de reducción, la posición inicial y la velocidad inicial.

Puesto que el momento cinético se conserva tenemos que si multiplicamos escalarmente el vector de posición relativo por este vector constante

$\vec{L}_O\cdot\vec{r}=m\overbrace{\left(\vec{r}\times\vec{v}\right)}^{\perp\vec{r}}\cdot\vec{r} = 0$

Esta es la ecuación vectorial de un plano que pasa por O y es normal a la dirección de $\vec{L}_O$ .

2.6 Fuerzas centrales

Las fuerzas centrales constituyen un caso particular e importante de las diferentes fuerzas presentes en la naturaleza. Una fuerza central es aquella que en todos los puntos del espacio posee dirección radial desde un punto fijo O, siendo además dependiente solo de la distancia a dicho punto

$\vec{F}(\vec{r}) = f(|\vec{r}|)\vec{r}$

Ejemplos de fuerzas centrales son la fuerza de la gravedad debida a un objeto masivo (como la atracción que el Sol ejerce sobre la Tierra), o la fuerza eléctrica debida a una carga en reposo.

Se tiene que

El momento cinético respecto a un punto O de una partícula sometida a la acción de una fuerza central, con centro O, permanece constante.

La demostración es inmediata, ya que el vector de posición relativo y la fuerza son vectores paralelos

$\vec{M}_O = \vec{r}\times\overbrace{\vec{F}}^{\parallel\vec{r}} = \vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{L}_O = \mathrm{cte}$

En particular, esto implica que la trayectoria de toda partícula sometida a una fuerza central (p.ej. una óirbita planetaria, o un oscilador armónico en 3 dimensiones) es una curva plana.

2.7 Ejemplo. Péndulo simple

Un ejemplo de aplicación del teorema del momento cinético en el que se simplifican los cálculos respecto a la aplicación directa de las leyes de Newton es el caso del péndulo simple.

Supongamos una partícula de masa $m$ atada a un hilo inextensible que por su otro extremo está atado a un punto de anclaje fijo O.

Tal como se ve en el apartado correspondiente de aplicaciones de las leyes de Newton, la masa se encuentra sometida a la acción conjunto de dos fuerzas: el peso y la tensión del hilo, de forma que

$m\vec{a}=m\vec{g}+\vec{F}_T$

Desarrollando esta ecuación en sus componentes y eliminando la tensión entre las dos ecuaciones que resultan se llega a la ecuación del péndulo

$\ddot{\theta}=-\frac{g}{\ell}\mathrm{sen}(\theta)$

la complicación que tiene este método es que obliga a introducir la tensión, que es una fuerza desconocida a priori.

Veamos como sería con ayuda del momento cinético. El momento cinético respecto al punto O es igual a

$\vec{L}_O=m\vec{r}\times\vec{v}$

donde

$\vec{r}=\ell\vec{u}_\rho\qquad \vec{v}=\ell\dot{\theta}\vec{u}_\theta$

Al ser perpendiculares estos dos vectores, su producto vectorial es igual a

$\vec{L}_O=m\ell^2\dot{\theta}\vec{k}$

siendo $\vec{k}$ el vector normal hacia afuera del plano de oscilación del péndulo (no el de la dirección de la gravedad, que en estos ejes sería $\vec{g}=g\vec{\imath}$ ). La derivada respecto al tiempo del momento cinético es

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=m\ell^2\ddot{\theta}\vec{k}$

Esta derivada debe ser igual a la resultante de los momento de las fuerzas aplicadas

$\vec{M}_O=\vec{r}\times\vec{F}_T+\vec{r}\times(m\vec{g})$

Ahora bien, la tensión va en la dirección del hilo, que es también la del vector de posición. Por tanto, su momento es nulo y solo queda el del peso. Éste, a su vez, es igual a la distancia a la recta soporte (la vertical que pasa por la partícula), con lo que su momento vale

$\vec{M}_O=-x(mg)\vec{k} = -mg\ell\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{k}$

el signo negativo viene de que cuando $θ$ es positivo, la regla de la mano derecha da para el momento un sentido hacia adentro del plano.

Igualando las dos cantidades queda

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_O\qquad\Rightarrow\qquad m\ell^2\ddot{\theta}=-mg\ell\,\mathrm{sen}(\theta)\qquad\Rightarrow\qquad \ddot{\theta}=-\frac{g}{\ell}\mathrm{sen}(\theta)$