Campo y potencial en el eje de un anillo cargado Primera Convocatoria Ordinaria 2010/11 (F2GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Tenemos un aro circular de grosor nulo y radio $R$ , con una carga total $Q > 0$ distribuida uniformemente en su longitud.

Calcula el potencial eléctrico en los puntos del eje del anillo.
Calcula el campo eléctrico en los puntos del eje del anillo.
Se coloca una carga puntual $- q$ (con $q > 0$ ) en un punto del eje a una distancia $d$ del centro del aro con velocidad nula. Se deja libre de modo que se mueve a lo largo del eje bajo la acción del campo eléctrico creado por el aro. Describe el movimiento que hace la carga y calcula su velocidad cuando está en el centro del aro.

2 Solución

2.1 Potencial eléctrico en el eje

Dividimos el aro en elementos de línea, cada uno con la carga $d q$ . El potencial creado en un punto $P$ del eje por cada uno de estos elementos de línea es

$\mathrm{d}V_P = \frac{k\,\mathrm{d}q}{r}$

siendo $r$ la distancia desde el elemento de línea al punto $P$ del eje. Como es una circunferencia, todos sus puntos están a la misma distancia del punto. La magnitud $k$ es la constante de Coulomb.

$r = \sqrt{R^2+z_P^2}$

El potencial en el punto $P$ creado por cada elemento de línea es

$\mathrm{d}V_P = \frac{k\,\mathrm{d}q}{\sqrt{R^2+z_P^2}}$

El potencial total es la integral del potencial creado por cada elemento de línea

$V_P = \int\limits_{\mathrm{aro}}\frac{k\,\mathrm{d}q}{\sqrt{R^2+z_P^2}}$

Al recorrer el aro, todas las magnitudes que aparecen son constantes. Por tanto

$V_P = \frac{k}{\sqrt{R^2+z_P^2}}\int\limits_{\mathrm{aro}}\mathrm{d}q$

El resultado de la integral es la carga completa del aro. Por tanto la solución es

$V_P = \frac{k\, Q}{\sqrt{R^2+z_P^2}}$

2.2 Campo en un punto del eje

De nuevo usamos el cálculo integral. Cada elemento de línea crea un campo $\mathrm{d}\vec{E}$ en el punto $P$ . Pero ahora, al sumar las contribuciones de cada elemento de línea, hay que tener en cuenta que la suma es vectorial. Como se ve en la figura, por cada elemento de línea hay otro opuesto tal que, al sumar los campo de los dos, sólo queda la componente a lo largo del eje del aro.

Así la contribución al campo total del cada elemento de línea en el punto $P$ es

$\mathrm{d}\vec{E}_{eje} = |\mathrm{d}\vec{E}_P|\,\cos\alpha\,\vec{k}$

El módulo del campo eléctrico creado en el punto $P$ por un elemento de línea es

$|\mathrm{d}\vec{E}_P| = \frac{k\,\mathrm{d}q}{r^2} = \frac{k\,\mathrm{d}q}{R^2+z_P^2}$

De la figura vemos que

$\cos\alpha = \frac{z_P}{\sqrt{R^2+z_P^2}}$

Por tanto, la contribución de cada elemento al campo en el eje es

$\mathrm{d}\vec{E}_{eje} = \frac{k\,\mathrm{d}q}{R^2+z_P^2}\,\frac{z_P}{\sqrt{R^2+z_P^2}}\,\vec{k} = \vec{k}\,\frac{k\,z_P}{(R^2+z_P^2)^{3/2}}\,\mathrm{d}q$

El campo total es la integral a lo largo del aro

$\vec{E}_{eje} = \int\limits_{\mathrm{aro}} \vec{k}\,\frac{k\,z_P}{(R^2+z_P^2)^{3/2}}\,\mathrm{d}q = \vec{k}\,\frac{k\,z_P}{(R^2+z_P^2)^{3/2}}\,\int\limits_{\mathrm{aro}} \mathrm{d}q$

Igual que en el apartado anterior todas las magnitudes del integrando son constantes al cambiar el elemento de línea. Por tanto el campo en un punto del eje es

$\vec{E}_{eje} = \frac{k\,Q\,z_P}{(R^2+z_P^2)^{3/2}}\,\vec{k}$

Como $Q$ es positiva, este campo apunta hacia arriba por encima del aro y hacia abajo por debajo de él.

En el punto central del aro $(z P = 0)$ el campo es nulo, como puede intuirse de la suma vectorial del campo de cada elemento de línea.

Cuando estamos muy lejos del aro, $z_P\gg R$ , y el módulo del campo se puede aproximar por

$|\vec{E}_{eje}| \to \frac{k\,Q}{z_P^2}$

Es decir, desde lejos el campo del aro es como el creado por una carga puntual de valor $Q$ .

2.2.1 Cálculo alternativo del campo

El campo puede calcularse a partir del potencial. Una vez que reconocemos que en un punto del eje el campo sólo tiene componente a lo largo del eje, podemos usar que el campo es el gradiente del potencial cambiado de signo. En este caso sólo queda la componente del gradiente sobre el eje. El campo es entonces

$\vec{E}_{eje} = -\vec{k}\,\frac{\partial\,V}{\partial z_P} = -\vec{k}\frac{\partial }{\partial z_P} \left(\frac{k\, Q}{\sqrt{R^2+z_P^2}}\right) = \frac{k\,Q\,z_P}{(R^2+z_P^2)^{3/2}}\,\vec{k}$

2.3 Movimiento de la carga

La carga puntual es negativa, por lo que la fuerza que el aro ejerce sobre ella es atractiva. La fuerza eléctrica acelera a la partícula y ésta se mueve a lo largo del eje acercándose al aro. Cuando alcanza el centro, la fuerza es nula, pero la carga ya tiene una velocidad no nula, con lo que pasa al otro lado. Ahora la fuerza se opone al movimiento de la carga, frenándola. La carga se desacelera hasta que se para a la misma distancia $d$ al otro lado del aro ( pues el campo eléctrico es conservativo). En ese instante vuelve a acelerarse hacia el aro, repitiéndose el proceso. Se trata entonces de un movimiento oscilante.

El movimiento no es uniformemente acelerado, pues la fuerza sobre la carga cambia con su distancia al centro del aro, pues el campo eléctrico cambia.

El movimiento no es armónico simple. Para que lo fuera la ecuación diferencial que describe el movimiento debería poder ponerse en la forma

$\ddot{z_P} = -\omega^2\,z_p$

siendo $ω 2$ una constante en el movimiento. Esto no puede hacerse, de nuevo porque el campo eléctrico no es uniforme. Sólo si la carga parte desde muy cerca del centro del aro $(d\ll R)$ el movimiento se aproxima a un MAS.

Como hemos dicho, cuando llega al centro del aro la carga tiene una velocidad no nula pues viene siendo acelerada por la fuerza eléctrica. Para obtener su valor usamos que el campo eléctrico es conservativo, es decir, podemos definir una energía potencial y una energía mecánica.

En el instante inicial, la velocidad de la carga es cero, con lo que la energía mecánica es

$E_m = K(z_P=d) + U(z_P=d) = -q\,V(z_P=d) = -\frac{k\,q\,Q}{\sqrt{R^2+d^2}}$

Cuando alcanza el centro del aro la energía mecánica es

$E_m = K(z_p=0) + U(z_P=0) = \frac{1}{2}m\,v^2 - \frac{k\,q\,Q}{R}$

Aquí, $m$ es la masa de la carga.

Como la energía mecánica se conserva, las dos expresiones deben ser iguales. Entonces

$\frac{1}{2}m\,v^2 - \frac{k\,q\,Q}{R} = -\frac{k\,q\,Q}{\sqrt{R^2+d^2}}$

Despejando la velocidad obtenemos

$v = \sqrt{\frac{2\,k\,q\,Q}{m}\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2+d^2}}\right)}$

Podemos comprobar que si la carga parte del centro del aro $(d = 0)$ entonces la velocidad es nula. Es lógico, pues en ese caso la fuerza es cero y la carga no se acelera.

Campo y potencial en el eje de un anillo cargado Primera Convocatoria Ordinaria 2010/11 (F2GIA)

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2 Solución

2.1 Potencial eléctrico en el eje

2.2 Campo en un punto del eje

2.2.1 Cálculo alternativo del campo

2.3 Movimiento de la carga

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