Campo eléctrico de un segmento

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Segmento
3 Hilo infinito

1 Enunciado

Calcule el campo eléctrico producido por un segmento rectilíneo cargado uniformemente con una densidad de carga $λ 0$ en cualquier punto del plano perpendicular al segmento por su punto medio.

A partir del resultado anterior, halle el campo eléctrico creado por un hilo rectilíneo infinitamente largo cargado con una densidad homogénea $λ 0$ .

2 Segmento

El campo eléctrico creado por una distribución lineal de carga es

$\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_L\frac{\lambda(\vec{r}-\vec{r}')\mathrm{d}l'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3}$

En nuestro caso, situamos el segmento cargado en el eje OZ y centrado en el origen de coordenadas, de forma que los puntos donde se encuentran las cargas cumplen

$\vec{r}'=z'\vec{k}\qquad \qquad \mathrm{d}\vec{r}'=\mathrm{d}z'\vec{k}\qquad\qquad \mathrm{d}l'=|\mathrm{d}\vec{r}'|=\mathrm{d}z'$

la variable $z'$ irá de $- a$ a $+ a$ .

Para los puntos donde medimos el campo nos dicen que se trata de un punto del plano central $z = 0$

$\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}$

No obstante, dado que el sistema tiene simetría de revolución respecto al eje Z podemos considerar simplemente un punto del eje OX y luego generalizar. En este caso

$\vec{r}=x\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{r}-\vec{r}'=x\vec{\imath}-z'\vec{k}\qquad\qquad \left|\vec{r}-\vec{r}'\right|=\sqrt{x^2+z'^2}$

Llevando esto a la integral nos queda

$\vec{E}=\frac{\lambda_0}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-a}^a\frac{\left(x\vec{\imath}-z'\vec{k}\right)\mathrm{d}z'}{(x^2+z'^2)^{3/2}}$

Esta integral vectorial se descompone en dos integrales escalares. De éstas, la segunda se anula

$\int_{-a}^a \frac{z'\,\mathrm{d}z'}{(x^2+z'^2)^{3/2}}=0$

por tratarse de una integral de una función impar sobre un intervalo simétrico. Esto nos deja con

$\vec{E}=\frac{\lambda_0x\vec{\imath}}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-a}^a\frac{\mathrm{d}z'}{(x^2+z'^2)^{3/2}}$

Esta integral se resuelve mediante el cambio de variable

$z'=x\,\mathrm{tg}(\alpha)\qquad\Rightarrow\qquad x^2+z'^2 = \frac{x^2}{\cos^2(\alpha)}\qquad\qquad \mathrm{d}z'=\frac{x\,\mathrm{d}\alpha}{\cos^2(\alpha)}$

Este ángulo posee una interpretación geométrica: es el ángulo de elevación respecto a la horizontal con el que se ve un punto del segmento desde la posición donde queremos hallar el campo. Con este cambio de variable la integral se transforma en

$\vec{E}=\frac{\lambda_0 x\vec{\imath}}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\alpha_0}^{\alpha_0}\frac{x\,\mathrm{d}\alpha}{\cos^2(\alpha)}\,\frac{\cos^3(\alpha)}{x^3}=\frac{\lambda_0\vec{\imath}}{4\pi\varepsilon_0 x}\int_{-\alpha_0}^{\alpha_0}\cos(\alpha)\mathrm{d}\alpha$

El límite de integración lo da el ángulo de elevación del extremo del segmento

$\mathrm{tg}(\alpha)_0=\frac{a}{x}\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{sen}(\alpha_0)=\frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}$

Con esto, la expresión para el campo eléctrico queda

$\vec{E}=\frac{\lambda_0 \mathrm{sen}(\alpha_0)\vec{\imath}}{2\pi\varepsilon_0 x}=\frac{\lambda_0 a\vec{\imath}}{2\pi\varepsilon_0 x\sqrt{x^2+a^2}}$

3 Hilo infinito

Podemos calcular el campo de un hilo infinito a partir del de un segmento considerando el límite en que la longitud de éste se hace infinita. En términos del ángulo de elevación $α 0$ equivale a hacer

$\alpha_0\to \frac{\pi}{2}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{E}\to \frac{\lambda_0 \vec{\imath}}{2\pi\varepsilon_0 x}$

Esta expresión está particularizada para el caso de que el punto donde medimos el campo esté situado sobre el eje OX. La generalización a un punto arbitrio es inmediata.

Para un punto cualquiera, sustituimos x por la distancia al eje OZ (o, aun más en general, la línea donde se halla el hilo de carga). Empleando coordenadas cilíndricas, equivale sustituir $x$ por $ρ = (x 2 + y 2) 1 / 2$ .

Además debemos dar la dirección del campo. En el caso del eje OX, $\vec{\imath}$ es el unitario en el sentido de x creciente, esto es, el que se aleja en línea recta del eje OX. La generalización a cualquier punto consiste en sustituir $\vec{\imath}$ por el unitario radial $\vec{u}_\rho$ .

Por tanto, la expresión del campo creado por un hilo cargado uniformemente es, en cualquier punto del espacio,

$\vec{E}=\frac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0\rho}\vec{u}_\rho$

Podemos expresar este resultado en la base cartesiana como

$\vec{E}=\frac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0\rho}\vec{u}_\rho=\frac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0\rho^2}(\rho\vec{u}_\rho)=\frac{\lambda_0(x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}}{2\pi\varepsilon_0(x^2+y^2)}$

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