Calor y entropía en un congelador
De Laplace
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1 Enunciado
Una máquina de fabricar cubitos de hielo produce un cubo de 20 g cada 2 minutos, tomando agua de una conducción a temperatura ambiente de 22°C y produciendo cubitos a −3°C. El COPR de la máquina es de 4.0. Calcule:
- El calor que se debe extraer para fabricar cada cubito. Suponiendo que este calor se extrae a ritmo constante, halle el calor extraído cada segundo.
- El trabajo por segundo (potencia) que debe realizar la máquina para fabricar los cubitos.
- La variación de entropía del agua al convertirse en un cubito de hielo.
- El aumento de entropía del ambiente y del universo en cada segundo.
Datos: Calor específico del agua ; Calor específico del hielo ; Entalpía específica de fusión .
2 Calor extraído
El calor que se extrae del agua y entra en el refrigerador se compone de tres contribuciones
- El calor que hay que extraer para llevar el agua a 0°C
- El calor que hay que extraer para congelar el agua
- Este calor es negativo, pues se saca del agua. Si fuera positivo querría decir que si calentamos agua obtenemos hielo.
- El calor que hay que extraer para llevar el hielo a −3°C
El calor total que hay que extraer para fabricar cada cubito es
Desde el punto de vista del refrigerador, este es un calor que entra en él, por lo que será
Este calor se extrae cada 2 minutos. El calor extraído por segundo es
3 Potencia necesaria
El coeficiente de desempeño de un refrigerador, COPR, se define como
por lo que despejando
4 Variación de entropía del agua
Como en el caso del calor, tenemos tres variaciones de entropía, todas ellas negativas.
- Variación de entropía en el enfriamiento del agua. Usamos la fórmula para una sustancia pura
- que para este caso da
- Variación en la congelación. Este proceso es isotermo, por lo que
- Variación en el enfriamiento del hielo. Como en el primer caso
Sumando las tres contribuciones
La entropía del agua disminuye porque está enfriándose. No hay ninguna imposibilidad en esto ya que no se trata de un sistema aislado. Habrá que calcular la variación de entropía de todo el universo para estudiar su posibilidad.
5 Variación total de entropía
En el cálculo de la entropía total hay que tener mucho cuidado a qué llamamos sistema y a qué llamamos ambiente. El resultado total debe ser el mismo, pero los términos por separado pueden variar
5.1 El sistema es el agua
Si consideramos que el agua es nuestro sistema y el refrigerador y todo lo demás es el ambiente, entonces, la variación de entropía del sistema es la que ya hemos calculado,
mientras que la del ambiente se debe a que arrojamos al ambiente un calor
siendo la temperatura ambiente 22°C. Por tanto la variación de entropía del ambiente es
La variación de entropía del universo es la suma de estas dos
que es positiva, como corresponde a un proceso posible.
Esa es la producción de entropía por cada cubito, en 120 segundos. La producción de entropía por segundo es
5.2 El sistema es el refrigerador
Si consideramos que nuestro sistema es el refrigerador, entonces, dado que éste opera en un proceso cíclico
y la variación de entropía es toda debida al ambiente (que ahora incluye el agua). La máquina quita entropía de un lado y la arroja en otro (en exceso, ya que se produce entropía). Aquí existe la tentación de usar la fórmula para una máquina que opera entre dos focos térmicos
Sin embargo, esta fórmula no se puede aplicar aquí, ya que la temperatura del foco frío no es siempre la misma, ya que el agua se va enfriando. Habría que considerar variaciones diferenciales y escribir
El cálculo del primer término es exactamente el mismo que ya hemos hecho para hallar la variación de entropía del agua, mientras que el segundo es igual a como lo hemos calculado en el apartado anterior, por lo que
y por segundo