Calor necesario para evaporar hielo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Calor necesario
3 Aumento de entropía

1 Enunciado

Calcule la cantidad de calor necesaria para llevar un bloque de hielo de 500 g inicialmente a −10 °C hasta el estado de vapor de agua a 115 °C, manteniéndose la presión constante en 101.3 kPa.

Halle el aumento de entropía en cada paso y el total del proceso.

2 Calor necesario

El proceso completo se compone de cinco partes: tres aumentos de temperatura y dos cambios de fase. Cada aumento de temperatura sigue la fórmula

$Q = mc\,\Delta T$

donde $c$ es el calor específico (a presión constante), que se supone con un valor constante para todo el rango de temperaturas (aunque diferente en cada fase). Un cálculo muy preciso debería tener en cuenta la variación del calor específico con la temperatura, resultando el calor

$Q = \int_{T_1}^{T_2} mc\,\mathrm{d}T$

Aquí nos quedaremos en la aproximación de que son constantes, con los valores respectivos para el hielo, el agua y el vapor

$c_h = 2.11\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}\qquad\qquad c_a = 4.18\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}\qquad\qquad c_{va} = 2.09\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}$

En los cambios de fase la temperatura permanece constante y el calor se emplea en pasar el hielo a agua, o el agua a vapor. La cantidad de calor en cada caso es proporcional a la masa

$Q = m\,\Delta h$

donde la entalpía específica de fusión y la de vaporización tienen los valores

$\Delta h_f = 334\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}\qquad\qquad \Delta h_v = 2257\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}$

y las temperaturas de los puntos de fusión y de ebullición

$T_f = 273\,\mathrm{K}\qquad\qquad T_b = 373\,\mathrm{K}$

Aplicando estas fórmulas, obtenemos los siguientes valores:

Hielo hasta el punto de fusión: Se trata de un aumento de temperatura de 10°C, hasta los 0°C

$Q_1 = mc_h(T_f-T_1) = 0.500\times 2.11\times 10\,\mathrm{kJ} = 10.55\,\mathrm{kJ}$

Fusión del hielo

$Q_2 = m\,\Delta h_f = 0.500\times 334\,\mathrm{kJ} = 167\,\mathrm{kJ}$

Calentamiento del agua hasta el punto de ebullición: es una subida de la temperatura en 100°C

$Q_3 = mc_a(T_b-T_f)=0.550\times 4.18\times 100\,\mathrm{kJ} = 209\,\mathrm{kJ}$

Ebullición del agua

$Q_4 = m\,\Delta h_v = 0.500\times 2257\,\mathrm{kJ} = 1128.5\,\mathrm{kJ}$

Calentamiento del vapor hasta la temperatura final: El vapor debe calentarse 15°C hasta el estado final

$Q_5 = mc_{va}(T_2-T_b) = 0.500\times 2.09\times 15\,\mathrm{kJ} = 15.7\,\mathrm{kJ}$

Sumando todos los valores obtenemos el siguiente calor total

Paso	$Q$ (kJ)	Fracción del calor total
Hielo a 0°C	10.6	0.7 %
Fusión	167	10.9 %
Agua a 100°C	209	13.7 %
Ebullición	1128.5	73.7 %
Vapor a 115°C	15.7	1.0 %
Total	1530.7	100

Vemos que, con diferencia, el proceso que requiere más calor es la conversión del agua en vapor de agua.

3 Aumento de entropía

Como en el cálculo del calor, para la entropía tenemos también cinco pasos.

En cada cambio de fase, por tratarse de un proceso isotermo

$\Delta S = \frac{m\,\Delta h}{T}$

En cada calentamiento a presión constante, suponiendo que la capacidad calorífica es independiente de la temperatura

$\Delta S = \int_{T_1}^{T_2}\frac{\delta Q}{T} = \int_{T_1}^{T_2}\frac{m\,c_p\,\mathrm{d}T}{T}=mc_p\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)$

Esto nos da los siguientes valores:

Hielo hasta el punto de fusión: Pasamos de 263 K a 273 K

$\Delta S_1 = mc_h\ln\left(\frac{T_f}{T_0}\right) = 0.500\times 2.11\times\ln\left(\frac{273}{263}\right)\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}} = +39.4\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$

Fusión del hielo

$\Delta S_2 = \frac{m\,\Delta h_f}{T_f} = \frac{0.500\times 334}{273}\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}} = +611.7\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$

Calentamiento del agua hasta el punto de ebullición: la temperatura pasa de 273 K a 373 K

$\Delta S_3 = mc_a\ln\left(\frac{T_b}{T_f}\right)=0.550\times 4.18\times\ln\left(\frac{373}{273}\right)\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}} = +652.3\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$

Ebullición del agua

$\Delta S_4 = \frac{m\,\Delta h_v}{T_b} = \frac{0.500\times 2257}{373}\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}} = +3025.5\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$

Calentamiento del vapor hasta la temperatura final

$\Delta S_5 = mc_{va}\ln\left(\frac{T_2}{T_b}\right) = 0.500\times 2.09\times\ln\left(\frac{388}{273}\right) \,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}} = +41.0\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$

Podemos incorporar estos resultados a la tabla anterior

Paso	$Q$ (kJ)	Fracción del calor total	$Δ S$ (J/K)	Fracción de la producción de entropía
Hielo a 0°C	10.6	0.7 %	39.4	0.9 %
Fusión	167	10.9 %	611.7	14.0 %
Agua a 100°C	209	13.7 %	652.3	14.9 %
Ebullición	1128.5	73.7 %	3025.5	69.2 %
Vapor a 115°C	15.7	1.0 %	41.0	0.9 %
Total	1530.7	100	4369.9	100

Vemos que la proporción mayor del aumento de entropía se debe al paso de líquido a vapor, aunque en proporción al aumento de entropía total constituye una fracción menor que el calor necesario respecto al calor total.

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