Calibración de un termistor GIA

De Laplace

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1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Un termistor es un dispositivo de estado sólido cuya resistencia varía considerablemente con la temperatura. Esta dependencia viene descrita aproximadamente por la expresión $R = R 0 e B / T$ , donde $R$ se expresa en ohmios( $Ω$ ), $T$ en kelvins y $R 0$ y $B$ son constantes que pueden determinarse midiendo $R$ para puntos de calibración conocidos.

Si $R=7360\,\mathrm{\Omega}$ en el punto de congelación del hielo y $153\,\mathrm{\Omega}$ en el punto de ebullición del agua, calcula $R 0$ y $B$ .
¿Cuál es la resistencia del termistor a $98.6\,\mathrm{^oF}$ ?
¿Cuál es la variación de la resistencia con la temperatura ( $d R / d T$ ) en el punto de congelación del hielo y el de ebullición del agua?
¿Para cual de estas temperaturas es este termistor más sensible?

2 Solución

2.1 Calibración del termistor

La relación entre la propiedad termométrica (la resistencia) y la temperatura tiene dos constantes: $R 0$ y $B$ . Necesitamos dos puntos de calibración.

En el punto de fusión del hielo tenemos

$R=R_1=7360\,\mathrm{\Omega}, T=T_1=273.15\,\mathrm{K} \Longrightarrow R_1= R_0\,e^{B/T_1}$

En el punto de ebullición del agua tenemos

$R=R_2=153\,\mathrm{\Omega}, T=T_2=373.15\,\mathrm{K} \Longrightarrow R_2= R_0\,e^{B/T_2}$

Dividiendo una por otra obtenemos

$\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{e^{B/T_1}}{e^{B/T_2}} = e^{B\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)}$

Tomando logaritmos

$B\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right) = \ln\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)$

Despejando llegamos a

$B = \dfrac{T_1T_2}{T_2-T_1}\ln\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right) =3.95\times10^{3}\,\mathrm{K}$

Despejamos $R 0$ de una de las dos ecuaciones

$R_0 = R_1\,e^{-B/T_1} = 3.86\times10^{-3}\,\Omega$

2.2 Resistencia para una temperatura dada

Pasamos la temperatura a la escala Celsius

$t_c = \dfrac{5}{9}(98.6-32) = 37.0\,\mathrm{^oC}$

La temperatura absoluta es

$T = t_c + 273.15 = 310.15\,\mathrm{K}$

La resistencia es

$R = R_0\,e^{B/T} = 1311\,\mathrm{\Omega}$

2.3 Variación de la resistencia con la temperatura

La derivada es

$\dfrac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}T} = -\dfrac{B}{T^2}R_0\,e^{B/T}$

En los puntos de calibración tenemos

$\begin{array}{l} \left|\dfrac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}T}\right|(T=273.15) = 390\,\mathrm{\Omega/K} \\ \\ \left|\dfrac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}T}\right|(T=373.15) = 4.33\mathrm{\Omega/K} \end{array}$

La sensibilidad es mayor donde el módulo de la derivada es más grande. La variación de resistencia debida a una variación de temperatura es

$|\mathrm{d}R| = \left|\dfrac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}T}\right|\,|\mathrm{d}T|$

Cuando el módulo de la derivada es mayor, un $d T$ pequeño induce un $d R$ más grande.

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2.1 Calibración del termistor

2.2 Resistencia para una temperatura dada

2.3 Variación de la resistencia con la temperatura

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