Batidos en un piano

De Laplace

1 Enunciado

Para las notas agudas de los pianos se emplean cuerdas dobles o triples, formadas por hilos de acero paralelos. El La de la octava menor (110 Hz) está formado por dos hilos, tensados teóricamente a 600 N. Uno de los dos hilos se destensa ligeramente y al tocar la tecla se oyen batidos con una frecuencia de 4 Hz. ¿Cuál es la tensión de la cuerda destensada?

2 Solución

La tensión a la que se haya sometida una cuerda de longitud $L$ , diámetro $D$ y densidad volumétrica de masa $ρ$ es

F T = ρπ L 2 D 2 f 2

siendo f la frecuencia de vibración. De aquí que si tenemos dos cuerdas idénticas que vibran a distinta frecuencia, la relación entre sus tensiones es

$\frac{F_{T1}}{F_{T2}}=\frac{f_1^2}{f_2^2}$

En nuestro caso, una de las cuerdas vibra a frecuencia $f_2=110\,\mathrm{Hz}$ y se encuentra a $F_{T2}=600\,\mathrm{N}$ de tensión. La otra se ha destensado y vibra, por tanto, a una frecuencia menor. La diferencia entre las dos frecuencias la da la frecuencia de los batidos o pulsaciones