Armónicos esféricos vectoriales

De Laplace

Contenido

1 Definición
2 Fuentes escalares y vectoriales
- 2.1 Fuentes escalares
3 Fuentes vectoriales
4 Aplicación a la mecánica de fluidos
5 Aplicación al electromagnetismo

1 Definición

Los armónicos esféricos vectoriales constituyen una extensión del concepto de armónico esférico a campos vectoriales. Para cada armónico esférico, $Y_{lm}(\theta,\varphi)$ , se definen tres armónicos esféricos vectoriales

$\mathbf{Y}_{lm} = Y_{lm}\mathbf{u}_r$

$\mathbf{\Psi}_{lm} = r\nabla Y_{lm}$

$\mathbf{\Phi}_{lm} = \mathbf{r}\times\nabla Y_{lm}$

2 Fuentes escalares y vectoriales

A partir de la definición y de las propiedades de los armónicos esféricos tenemos las siguientes fuentes para los armónicos esféricos vectoriales

2.1 Fuentes escalares

Tomando la divergencia de cada campo

$\nabla\cdot\mathbf{Y}_{lm}=\frac{2}{r}Y_{lm}$

$\nabla\cdot\mathbf{\Psi}_{lm}=-\frac{l(l+1)}{r}Y_{lm}$

$\nabla\cdot\mathbf{\Phi}_{lm}=0$

3 Fuentes vectoriales

Tomando el rotacional

$\nabla\times\mathbf{Y}_{lm}=-\frac{1}{r}\mathbf{\Phi}_{lm}$

$\nabla\times\mathbf{\Psi}_{lm}=\frac{1}{r}\mathbf{\Phi}_{lm}$

$\nabla\times\mathbf{\Phi}_{lm}=-\frac{l(l+1)}{r}\mathbf{Y}_{lm}-\frac{1}{r}\mathbf{\Psi}_{lm}$

Armónicos esféricos vectoriales

De Laplace

Contenido

1 Definición

2 Fuentes escalares y vectoriales

2.1 Fuentes escalares

3 Fuentes vectoriales

4 Aplicación a la mecánica de fluidos

5 Aplicación al electromagnetismo

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