Anillo cargado y carga puntual en el centro (F2GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Un sistema electrostático está formado por un anillo circular uniformemente cargado con una cantidad total $Q$ de carga eléctrica positiva, y una carga puntual negativa de valor $q$ . El anillo tiene radio $a$ y grosor despreciable y la carga puntual está situada en el centro $O$ del anillo:

¿Qué trabajo habrá realizado la fuerza exterior que ha traído la carga puntual desde el infinito hasta su posición final en el centro del anillo cargado?
Si la relación entre las cargas es $Q = 8 q$ , determine en qué puntos $P 0$ del eje del anillo (ver figura), se anula el campo eléctrico creado por el sistema descrito.
Calcule el flujo del campo eléctrico creado por el sistema, a través de las superficies esféricas con centro en el punto $O$ y tales que los $P 0$ determinados en el apartado anterior sean puntos de dichas superficies.
Discuta cómo sería la fuerza que ejercería el sistema sobre una carga puntual y sobre un dipolo colocados en los $P 0$ indicados en el segundo apartado (considere el dipolo alineado con el eje $X$ , en sus dos posibles orientaciones).

2 Solución

2.1 Trabajo para traer la carga puntual

Adoptamos un sistema de referencia cartesiano $O X Y Z$ tal que el anillo eléctricamente cargado está contenido en el plano $O X Y$ , con el origen $O$ en su centro. La carga eléctrica $Q$ se distribuye uniformemente en el anillo, por lo que existirá una densidad lineal de carga constante,

$\lambda_e(\mathbf{r}^\prime)\big\rfloor_\Gamma=\lim_{\Delta l^\prime\rightarrow 0}\frac{\Delta q}{\Delta l^\prime}\bigg\rfloor_\Gamma=\frac{Q}{2\pi a}=\lambda_0$

Como sabemos, la perturbación creada por esta distribución puede describirse tanto en términos de un campo eléctrico vectorial $\mathbf{E}_\Gamma(\mathbf{r})$ , como de un campo escalar $V_\Gamma(\mathbf{r})$ llamado potencial electrostático, los cuáles están directamente relacionados: la diferencia del potencial entre dos puntos tiene el valor opuesto a la circulación del campo eléctrico entre dichos puntos, $V_\Gamma(A)-V_\Gamma(B)=\int_A^B\!\mathbf{E}_\Gamma\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

Para trasladar una carga puntual desde el infinito hasta el centro del anillo habrá de aplicarse, en principio, una fuerza exterior $\mathbf{F}_\mathrm{ext}$ . Pero la perturbación creada por el anillo se manifiesta en una fuerza eléctrica $\mathbf{F}_\Gamma$ que también actúa sobre la carga puntual. Si la traslación de la carga se realiza siguiendo un proceso ideal cuasi-estático, en el cuál la energía cinética de la partícula permanece prácticamente constante, los trabajos realizados por la fuerza externa y la eléctrica deben ser opuestos:

$W_\mathrm{ext}=\int_\infty^O\! \mathbf{F}_\mathrm{ext}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=-\int_\infty^O\! \mathbf{F}_\Gamma\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=-W_\Gamma$

Si expresamos la fuerza eléctrica que actúa sobre la carga puntual en términos del campo eléctrico creado por el anillo cargado, se obtiene la siguiente expresión para el trabajo realizado por la fuerza externa en un proceso cuasi-estático:

$W_\mathrm{ext}=-W_\Gamma=\int_O^\infty\! \mathbf{F}_\Gamma\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=(-q)\!\ \int_O^\infty\! \mathbf{E}_\Gamma\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=(-q)\big[V_\Gamma(O)-V_\Gamma(\infty)\big]$

Para obtener el potencial electrostático creado por el anillo consideramos éste formado por una distribución continua de cargas puntuales infinitesimales, cada una de las cuales contribuye con un valor infinitesimal de potencial. En un punto arbitrario, cuya posición viene dada por el radio-vector $\mathbf{r}$ , se tendrá,

$V_\Gamma(\mathbf{r})=k_e\!\ \int_\Gamma\! \frac{\mathrm{d}q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|}=k_e\!\ \lambda_0\!\ \int_\Gamma\! \frac{\mathrm{d}l^\prime}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|}$

Obsérvese que $|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|$ es la distancia entre el punto donde se evalúa la perturbación eléctrica y los puntos $P^\prime$ del anillo cargado. Para puntos infinitamente alejados del anillo, esta distancia tiene un valor infinito y, por tanto, el potencial en dichos puntos será, $V_\Gamma(\infty)=0$ .

Cada punto del eje de simetría del anillo (eje $O X$ , se encuentra a la misma distancia de todos los puntos del anillo. Por tanto, el potencial en los puntos de coordenadas $P (x,0,0)$ es,

$V_\Gamma(\mathbf{r}|_{OX})=k_e\!\ \int_\Gamma\! \frac{\mathrm{d}q}{\sqrt{a^2+x^2}}=k_e\ \frac{Q}{\sqrt{a^2+x^2}}=V_\Gamma(x,0,0)\quad\Longrightarrow\quad V_\Gamma(O)=V_\Gamma(0,0,0)=k_e\ \frac{Q}{a}$

Por tanto, el trabajo externo realizado para colocar la carga en el centro del anillo es:

$W_\mathrm{ext}=(-q)\big[V_\Gamma(O)-\underbrace{V_\Gamma(\infty)}_{=0}\big]=-k_e\!\ \frac{q\!\ Q}{a}$

2.2 Puntos de campo nulo en el eje

Una vez conformado el sistema electrostático, el campo eléctrico total será igual a la resultante de los creados por el anillo cargado y la carga puntual negativa colocada en su centro:

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_\Gamma(\mathbf{r})+\mathbf{E}_{-q}(\mathbf{r})\mathrm{;}\quad\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\mathbf{E}_{-q}(\mathbf{r})=k_e\ \frac{(-q)\!\ \mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\\ \\ \displaystyle\mathbf{E}_\Gamma(\mathbf{r})=k_e\!\ \int_\Gamma\frac{\mathrm{d}q\!\ (\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|^3}\end{array}\right.$

Las expresión del campo creado por el anillo en los puntos del eje $O X$ fue obtenida por integración directa en otro ejercicio de esta “Wiki”. Pero también puede ser obtenida a partir de la expresión del potencial calculada en el apartado anterior. La simetría de la distribución de carga en el anillo $Γ$ permite asegurar que el campo eléctrico que genera en los puntos del eje $O X$ sólo va a tener componente en esa dirección. Por otra parte, este campo va a ser opuesto al gradiente del potencial en dicho punto; por tanto,

$\mathbf{E}_\Gamma(\mathbf{r}|_{OX})=E(x,0,0)\!\ \mathbf{i}=-\vec{\nabla}V(\mathbf{r})\big\rfloor_{OX}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{E}_\Gamma(x,0,0)=-\mathbf{i}\ \frac{\partial V_\Gamma}{\partial x}\bigg\rfloor_{P(x,0,0)}=k_e\ \frac{Q\!\ x}{(a^2+x^2)^{3/2}}\ \mathbf{i}$

De esta manera, cuando la carga del anillo tiene un valor $Q = 8 q$ , el campo eléctrico total en los puntos del eje será:

$\mathbf{E}(x,0,0)=k_e\!\ q\!\ \left[\frac{8\!\ x}{(a^2+x^2)^{3/2}}-\frac{1}{x^2}\right]\!\ \mathbf{i}$

y se anulará en aquellos puntos $P 0 (x 0,0,0)$ cuya coordenada $x 0$ verifique la relación...

$\mathbf{E}(P_0)=\mathbf{E}_\Gamma(x_0,0,0)+\mathbf{E}_{-q}(x_0,0,0)=\mathbf{0}\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{8\!\ x_0}{\big(a^2+x_0^2\big)^{3/2}}=\frac{1}{x_0^2}$

Operando en esta expresión, se obtiene...

$8\!\ x_0^3=\big(a^2+x_0^2\big)^{3/2}\;\;\longrightarrow\;\;2x_0=\sqrt{a^2+x_0^2}\;\;\longrightarrow\;\;x_0=\pm\frac{a}{\sqrt{3}}$

2.3 Flujo del campo eléctrico

Existen dos puntos en el eje de simetría del anillo, $P_{01}(a/\sqrt{3},0,0)$ y $P_{02}(-a/\sqrt{3},0,0)$ , donde el campo eléctrico total se anula.

Ambos pertenecen a la misma superficie esférica $\partial\tau_0$ , concéntrica con el anillo y con un radio $a/\sqrt{3}$ , menor que el del anillo.

Para determinar el flujo del campo eléctrico a través de dicha superficie podemos aplicar la ley de Gauss; es decir, dicho flujo es proporcional a la cantidad de carga eléctrica contenida dentro del volumen $τ 0$ delimitado por aquella superficie. Y cómo sólo la carga puntual negativa situada en el centro $O$ del anillo se halla dentro de dicha superficie, se tendrá:

$\int_{\partial\tau_0}\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=4\pi k_e\!\ Q\rfloor_{\tau_0}=-4\pi k_e\!\ q$

2.4 Fuerza sobre carga puntual y dipolo en $P 0$

Si se coloca una carga puntual $q 0$ en el punto $P 0$ donde se anulan mutuamente los campos creados por el anillo y la carga negativa situado en su centro, la fuerza neta que actúa sobre aquélla será nula:

$\mathbf{F}(q_0;P_0)=q_0\!\ \mathbf{E}(P_0)=\mathbf{0}$

Consideremos ahora el caso de un dipolo eléctrico con su momento dipolar alineado con la dirección del campo total existente en el punto $P 0$ y, por tanto, con el eje $O X$ . Si su sentido coincide con dicho eje, se tendrá,

$\mathbf{p}=q_0\!\ \delta \!\ \mathbf{i}$ , con $\delta\ll a$

Si se coloca en el punto $P 0 (x 0,0,0)$ , las cargas positiva y negativa se estarán situadas en los puntos del eje $O X$ de coordenadas $x_0^+=x_0+\delta/2$ y $x_0^-=x_0-\delta/2$ , respectivamente. En conscuencia, la fuerza eléctrica neta que actúa sobre el dipolo es:

$\mathbf{F}(\mathbf{p};P_0)=q_0\left[\mathbf{E}(x_0^+,0,0)-\mathbf{E}(x_0^-,0,0)\right]=q_0\left[E(x_0^+)-E(x_0^-)\right]\!\ \mathbf{i}\neq\mathbf{0}$

Sustituyendo los valores de las coordenadas en la expresión del campo eléctrico total en el eje, determinada en el apartado 2.2, se obtendrá la fuerza neta que actúa sobre el dipolo, y que no va a ser nula ya que, aunque débil, el campo eléctrico en esos puntos no va a ser nulo, y además $E(x_0^+)\neq E(x_0^-)$ .

Puede comprobarse fácilmente que si $x_0=a/\sqrt{3}$ (es decir, $P 0$ es el punto donde se anula el campo eléctrico), se verificará...

$E(x_0)=0\mathrm{;}\qquad E(x_0^+)>0\mathrm{;}\qquad E(x_0^-)<0\mathrm{;}$

En consecuencia, tanto la carga positiva $+ q 0$ como la negativa $- q 0$ están sometidas a sendas fuerzas repulsivas que tienden a alejar el dipolo del anillo y la carga puntual $- q$ .

Si el dipolo se coloca en el punto $P 0$ , en la dirección del eje $O X$ , pero orientado en su sentido negativo de manera que $\mathbf{p}^\prime=-q_0\delta\!\ \mathbf{i}$ , la fuerza que actúa sobre el será,

$\mathbf{F}(\mathbf{p}^\prime;P_0)=q_0\left[\mathbf{E}(x_0^-,0,0)-\mathbf{E}(x_0^+,0,0)\right]=q_0\left[E(x_0^-)-E(x_0^+)\right]\!\ \mathbf{i}$

En este caso, tanto la carga positiva como la negativa del dipolo son atraídas por la distribución de carga que crea el campo.

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2 Solución

2.1 Trabajo para traer la carga puntual

2.2 Puntos de campo nulo en el eje

2.3 Flujo del campo eléctrico

2.4 Fuerza sobre carga puntual y dipolo en $P 0$

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2.1 Trabajo para traer la carga puntual

2.2 Puntos de campo nulo en el eje

2.3 Flujo del campo eléctrico

2.4 Fuerza sobre carga puntual y dipolo en P0

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2.4 Fuerza sobre carga puntual y dipolo en $P 0$