2.4. Ejemplo de movimiento rectilíneo
De Laplace
1 Enunciado
Una partícula efectúa un movimiento rectilíneo tal que si x(t) es la posición a lo largo de la recta y vx(t) la componente de la velocidad en dicha dirección, se cumple en todo instante
![v_x = \sqrt{k x}](/wiki/images/math/a/0/b/a0b81f33fe289f51cc53bcbe13795aea.png)
- Determine la aceleración en cada punto. ¿Qué tipo de movimiento efectúa la partícula?
- Si en t = 0 la partícula se encuentra en x = x0, ¿cuál es su posición en cualquier instante posterior?
2 Aceleración
La aceleración la obtenemos derivando la velocidad respecto al tiempo, lo cual se consigue aplicando la regla de la cadena,
![a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{k}{2\sqrt{kx}}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}](/wiki/images/math/c/c/9/cc985b56299bb9a635e02de982e9e757.png)
pero la derivada de la posición respecto al tiempo es la propia velocidad, por lo que
![a = \frac{k}{2\sqrt{kx}}\,v = \frac{k}{2\sqrt{kx}}\sqrt{kx} = \frac{k}{2}](/wiki/images/math/f/6/b/f6bf326afabdb4348fe0bc8998afbad2.png)
La aceleración es por tanto constante y el movimiento es uniformemente acelerado.
3 Posición instantánea
Al ser el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la posición en cada instante es
![x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}\,\frac{k}{2}\,t^2](/wiki/images/math/3/4/1/341a107473b21eb12864053ea5f9c7d2.png)
La velocidad inicial la sacamos de que también en el instante inicial se cumple la relación del enunciado, por lo que
![x = x_0 + t\sqrt{kx_0} + \frac{kt^2}{4}](/wiki/images/math/2/2/6/226d280127bf66857a546dd4df76c462.png)
La velocidad instantánea es
![v = \sqrt{kx_0}+\frac{kt}{2}](/wiki/images/math/b/0/0/b00b01094fb61afd21ad6a113a98433e.png)
y es inmediato comprobar que, efectivamente
![kx= v^2\,](/wiki/images/math/6/6/c/66cf1df5a60f0a20f2a1d66900ed67c0.png)