Campo eléctrico y ley de Gauss (GIE)

De Laplace

Revisión a fecha de 17:16 26 may 2012; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Concepto de electrostática
2 Campo eléctrico
3 Líneas de campo eléctrico
4 Ley de Gauss
5 Campo de cargas puntuales
- 5.1 Ley de Coulomb
6 Campo de una distribución de carga
7 Energía potencial electrostática
8 Potencial eléctrico
9 Energía electrostática de un sistema

1 Concepto de electrostática

La electrostática estudia los campos eléctricos y fuerzas debidas a cargas en reposo. Si además es “en el vacío” queiere decir que se consideran las cargas flotando en un espacio vacío. Puesto que más del 99% de la materia es realmente vacío, es un punto de partida adecuado. Los medios materiales (conductores o dieléctricos) pueden añadirse más tarde, como conjunto de cargas en el vacío.

En la electrostática en el vacío, los campos eléctricos son independientes dle tiempo y no hay campos magnéticos presentes. Esto reduce la ley de Lorentz para una carga puntual a solo la fuerza eléctrica

$\vec{F}=q\vec{E}(\vec{r})$

y puesto que consideramos cargas en reposo suponemos que esta fuerza se encuentra compensada por alguna otra, de forma que la resultante es nula.

2 Campo eléctrico

Entendemos el campo eléctrostático como una perturbación en el espacio producida por la presencia de cargas eléctricas en reposo

(ilustraciones obra de Geek3 para Wikipedia).

El campo es un concepto primario. No se puede describir qué es el campo eléctrico, sino solo qué efectos produce sobre otras cargas.

Puede definirse de una manera operativa, esto es, dando un procedimiento para su medida. Para ello se considera una carga muy pequeña $q 0$ y se sitúa en un campo eléctrico. Con la medida de un dinamómetro se mide la fuerza sobre ella. Se define el campo eléctrico en la posición de la carga como

$\vec{E}(\vec{r})=\lim_{q_0\to 0}\frac{\vec{F}}{q_0}$

El límite se toma porque idealmente se considera que la carga que se coloca no debe afectar a lo que ya había, para lo cual debe ser lo más pequeña posible.

3 Líneas de campo eléctrico

Como con cualquier otro campo, se pueden trazar las líneas de campo eléctrico, como aquellas curvas que son tangentes al campo eléctrico en cada punto. Estas curvas son soluciones de la ecuación diferencial

$\mathrm{d}\vec{r}=\vec{E}(\vec{r})\,\mathrm{d}\theta\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}=\vec{E}(\vec{r})$

siendo $θ$ un parámetro que nos permite etiquetar los puntos de cada curva. Estas ecuaciones diferenciales suelen ser extremadamente complejas y no poseen soluciones analíticas salvo en los casos más triviales, por lo que su solución requiere el uso de ordenadores, como en el caso de las cuatro cargas representado más arriba.

Existe casos particulares importantes:

Un campo uniforme (independiente de la posición) tiene líneas de campo que son rectas paralelas. Este es el caso del campo eléctrico en el interior de un condensador plano.

Un campo central

$\vec{E}(\vec{r}) = E(r)\vec{u}_r\qquad \qquad (\mbox{campo central})$

en el cual el campo es siempre puramente radial, las líneas de campo son semirrectas radiales. Este es el caso del campo de una carga puntual, positiva o negativa,

4 Ley de Gauss

Artículo completo: Flujo y ley de Gauss

Una propiedad del campo eléctrico que se desprende del trazado de sus líneas de campo es la siguiente.

Consideremos, por ejemplo, el caso de cuatro cargas ilustrado anteriormente

Si tomamos la superficie cerrada $S 1$ , vemos que no encierra carga alguna, y que en ella hay tantas líneas de campo que entran como las que salen.
En la superficie $S 2$ , que envuelve a la carga positiva, las líneas de campo atraviesan la superficie hacia el exterior. Se dice que en esta región el campo es divergente.
En $S 3$ , en cambio, se envuelve una carga negativa y en ella el campo es convergente, atravesando las líneas de campo la superficie hacia adentro.
En $S 4$ se envuelve una carga neta 0, y vemos que en ella tambioén hay tantas líneas que entran como que salen.

Vemos que el hecho de que las líneas atraviesen la superficie hacia afuera o hacia adentro depende de las cargas que haya en el interior, y que si es nula (bien porque no hay nada, bien porque hay tantas positivas como negativas) hay tantas que entran como que salen.

Este es un resultado general. Matemáticamente se expresa con el concepto de flujo que es una medida de cuánto campo atraviesa una superficie. La ley física que describe este fenómeno es la ley de Gauss

Ley de Gauss: El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la cantidad de carga encerrada por la superficie.

$\oint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}$

Analizando cada uno de los términos de esta ecuación tenemos:

$\oint_S$: El símbolo de integral con un círculo representa la integración sobre una superficie cerrada.
$\vec{E}$: El campo eléctrico en los puntos de la superficie. Este campo será en general función de la posición, por lo que no puede extraerse de la integral.
$\cdot$: El campo eléctrico es un vector y el diferencial de superficie también lo es. El flujo en cambio, es un número con signo. El producto escalar nos garantiza el aracter esclar del resultado.; $\mathrm{d}\vec{S}$ : Cuando se integra sobre una superficie, se divide ésta en elementos de área $d S$ . Se define el vector diferencial de superficie como uno que tiene por módulo el área del elemento, por dirección la perpendicular a la superficie y por sentido el que va hacia el exterior

$\mathrm{d}\vec{S}=\vec{n}\,\mathrm{d}S$

(¡ojo a la diferencia entre $\mathrm{d}S\,$ y $\mathrm{d}\vec{S}$ !).

$Q int$

es la carga encerrada por la superficie. Ojo que no es toda la carga del sistema Puede haber cargas en el exterior, que producen campo en la superficie (por ejemplo, las cuatros cargas respecto de la

S 1

anterior), pero que no están encerradas por ella. Aquí:

Si la carga neta encerrada es positiva: El flujo neto es hacia el exterior y el campo es divergente (caso de la superficie $S 2$ ). Esto no excluye que pueda contener cargas negativas y que haya algunas líneas de campo hacia adentro, como en la superficie $S 5$ .

Si la carga neta encerrada es negativa: El flujo neto es hacia el interior y el campo es convergente (caso de $S 3$ ).
Si la carga neta encerrada es cero: El flujo es nulo y hay tanto campo quye entra como que sale. Es importante recordar que un flujo nulo no implica un campo nulo

$\oint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = 0\qquad\not\Rightarrow\qquad\vec{E}=\vec{0}$

$\varepsilon_0$: La constante de proporcionalidad es una constante universal denominada permitividad del vacío, que tiene un valor exacto

$\varepsilon_0=\frac{10^7}{359502071494727056\pi}\frac{\mathrm{C}^2}{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2}\simeq 8.854\times 10^{-12}\frac{\mathrm{C}^2}{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2} = 8.854\,\frac{\mathrm{pF}}{\mathrm{m}}$

Aunque se suele aproximar en la forma más sencilla

$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = k_e\simeq 9\times 10^9\frac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{C}^2}$

5 Campo de cargas puntuales

Artículo completo: Campo de cargas puntuales. Ley de Coulomb

Una de las primeras aplicaciones de la ley de Gauss es la obtención del campo eléctrico creado por una carga puntual.

Por la simetría del sistema, el campo creado por una carga va a ser central

$\vec{E}(\vec{r})=E(r)\vec{u}_r$

siendo $r$ la distancia a la carga, $\vec{r}$ el vector de posición respecto a la carga y $\vec{u}_r$ el unitario en la dirección radial.

De acuerdo con la ley de Gauss, el flujo a través de cualquier superficie cerrada que envuelva a esta carga será el mismo. Si consideramos superficies esféricas concéntricas de radio cada vez más grande, el área de cada una crece como el cuadrado del radio, pero el flujo no cambia. Por tanto, el campo eléctrico de una carga puntual debe decaer como el cuadrado de la distancia a la carga.

Matemáticamente

$\mathrm{d}\vec{S}=\vec{u}_r\,\mathrm{d}S\qquad\qquad \frac{q}{\varepsilon_0}=\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\oint_S E(r)\,\mathrm{d}S$

y puesto que $E (r)$ tiene el mismo valor para todos los puntos de la superficie esférica puede salir de la integral y queda

$\oint_S E(r)\,\mathrm{d}S = E(r) S = 4\pi r^2 E = \frac{q}{\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{q}{4\pi r^2}\vec{u}_r$

Más en general, si tenemos la carga en un cierto punto A, el campo que produce en un punto P es

$\vec{E}_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{d_{AP}^2}\vec{u}_{AP}$

En función de los vectores de posición

$d_{AP}=|\vec{r}_P-\vec{r}_A|\qquad\qquad \vec{u}_{AP}=\frac{(\vec{r}_P-\vec{r}_A)}{|\vec{r}_P-\vec{r}_A|}\qquad\qquad \vec{E}_P=\frac{q(\vec{r}_P-\vec{r}_a)}{4\pi\varepsilon_0|\vec{r}_P-\vec{r}_A|^3}$

El campo eléctrico de una carga puntual tiene dirección radial desde la carga y un sentido que depende del signo de ésta. Hacia afuera si es positiva y hacia adentro si es negativa.

5.1 Ley de Coulomb

Una vez que tenemos el campo eléctrico creado por una carga puntual podemos calcular la fuerza que produce sobre otra carga. Si tenemos una carga $q 1$ en $\vec{r}_1$ y situamos una carga $q 2$ en el punto $\vec{r}_2$ , la fuerza que experimenta es el producto de la carga por el campo en la posición que se encuentra

$\vec{F}_{1\to 2}= q_2\vec{E}_1(\vec{r}_2) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_2q_1\vec{u}_{12}}{d_{12}^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_2q_1(\vec{r}_2-\vec{r}_1)}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}$

siendo $\vec{u}_{12}$ el vector unitario en la dirección de la recta que pasa por las dos cargas y en el sentido de la carga 1 a la 2. Esta es la conocida como ley de Coulomb para fuerzas entre cargas puntuales.

Dado que la fuerza es proporcional a la carga $q 2$ , si tenemos una carga $q 1$ positiva, la fuerza sobre $q 2$ será de repulsión si $q 2$ es positiva y de atracción si es negativa, aunque en los dos casos el campo de $q 1$ vaya hacia afuera.

La fuerza que experimenta la carga 1 se debe a que percibe el campo de la carga 2

$\vec{F}_{2\to 1}= q_1\vec{E}_2(\vec{r}_1) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1q_2\vec{u}_{21}}{d_{21}^2}$

Puesto que el producto de cargas es conmutativo, la distancia es la misma en los dos casos y el vector unitario tiene la misma dirección, pero sentido opuesto al anterior, se llega a que la ley de Coulomb cumple la tercera ley de Newton

$\vec{F}_{1\to 2} = -\vec{F}_{2\to 1}$

Asimismo obtenemos las propiedades:

Cargas del mismo signo se repelen y cargas de signo opuesto se atraen.
La fuerza entre cargas puntuales en reposo es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

La magnitud de la fuerza eléctrica es muy grande comparada con otras fuerzas de la naturaleza. Así, por ejemplo, para la fuerza entre un protón y un electrón (cargas $\pm e$ ) situados a una distancia $d$ tenemos

$F_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{d^2}$

La fuerza gravitatoria entre las dos partículas vale en módulo, de acuerdo con la ley de Gravitación Universal

$F_g = G\frac{m_pm_e}{d^2}$

La proporción entre las dos fuerzas es independiente de la distancia entre las partículas

$\frac{F_e}{F_g}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 G m_p m_p}$

Sustituyendo los valores de las cargas y masas del protón y del electrón y constantes queda

$\frac{F_e}{F_g}=2.27\times 10^{39}=2\,270\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000$

Además, al ser esta proporción independiente de la distancia, quiere decir que la fuerza eléctrica entre un protón situado en la Tierra y un electrón situado en la Luna, tiene esta misma proporción respecto a la fuerza gravitatoria entre ellas. Podemos preguntarnos entonces, ¿por qué apreciamos entonces la fuerza gravitatoria? Es más ¿por qué los planetas y galaxias se mueven por fuerzas gravitatorias y no eléctricas?

La explicación está en el hecho de que hay dos signos de carga, pero solo una de masa. Esto quiere decir que el efecto de la gravedad es siempre acumulativo, cuanta más masa se reúne, mayor es la fuerza gravitatoria. Las cargas, en cambio, se cancelan mutuamente. La materia es esencialmente neutra, ya que hay tantas cargas positivas como negativas, por lo que la fuerza eléctrica sobre un objeto distante es prácticamente nula.

Para justificar esto, no obstante, debemos considerar el efecto de un conjunto de cargas.

6 Campo de una distribución de carga

7 Energía potencial electrostática

8 Potencial eléctrico

9 Energía electrostática de un sistema

Campo eléctrico y ley de Gauss (GIE)

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1 Concepto de electrostática

2 Campo eléctrico

3 Líneas de campo eléctrico

4 Ley de Gauss

5 Campo de cargas puntuales

5.1 Ley de Coulomb

6 Campo de una distribución de carga

7 Energía potencial electrostática

8 Potencial eléctrico

9 Energía electrostática de un sistema

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