Superficies esféricas concéntricas cargadas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Campo eléctrico y cargas
- 2.1 Campo eléctrico
- 2.2 Densidades de carga
3 Potencial y energía
- 3.1 Potencial de las esferas
- 3.2 Energía electrostática
4 Estado tras la conexión
- 4.1 Campo eléctrico
- 4.2 Potencial eléctrico
5 Variación en la energía

1 Enunciado

Dos superficies conductoras ideales, esféricas y concéntricas de radios

a

y

2 a

y espesor despreciable, están cargadas eléctricamente de manera uniforme, siendo

σ 0

y

+ σ 0

los valores netos de las respectivas densidades superficiales de carga.

Obtenga las expresiones del campo eléctrico en las regiones interior, intermedia y exterior a las dos esferas. Determine cómo son las densidades superficiales de carga eléctrica en las caras interior y exterior de cada una de las superficies conductoras.
Calcule el valor del potencial eléctrico en dichas superficies, así como la energía electrostática almacenada por el sistema.
Suponga que se conectan las superficies por un fino hilo conductor. En la nueva situación de equilibrio, ¿cuánto valen el campo eléctrico y el potencial en todo el espacio?
Calcule la variación en la energía electrostática almacenada, como consecuencia de la conexión anterior. ¿Cómo se explica este cambio en la energía?

2 Campo eléctrico y cargas

2.1 Campo eléctrico

El campo eléctrico en todo el espacio lo podemos hallar por simple aplicación de la ley de Gauss. Dada la simetría de revolución del sistema, podemos suponer que el potencial eléctrico depende exclusivamente de la distancia $r$ al centro del sistema y el campo eléctrico es, por tanto, central

$\phi = \phi(r)\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=-\nabla\phi = E(r)\mathbf{u}_r$

En este caso, el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica concéntrica con las dos esferas de carga es

$\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=4\pi r^2 E$

De acuerdo con la ley de Gauss, este flujo es igual a la carga encerrada dividida por la permitividad del vacío

$\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}(r) = \frac{Q_\mathrm{int}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\mathbf{u}_r$

La carga encerrada depende del tamaño de la superficie de integración. Tenemos tres casos:

I. Región interior ( $r < a$ ): En esta zona, una superficie esférica no encierra carga alguna, por tanto

$Q_\mathrm{int}(r)=0\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=\mathbf{0}\quad (r<a)$

II. Región intermedia ( $a < r < 2 a$ ): En este caso, la carga encerrada es la de la esfera interior. Por ser la distribución de carga uniforme, la carga de esta esfera es

$Q_1 = 4\pi a^2(-\sigma_0)\,$

y el campo eléctrico resultante

$Q_\mathrm{int}(r)=Q_1 = -4\pi a^2\sigma_0\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=-\frac{\sigma_0a^2}{\varepsilon_0 r^2}\mathbf{u}_r\quad (a<r<2a)$

III. Región exterior ( $r > 2 a$ ): En esta región, la carga encerrada es la de la de las dos esferas conjuntamente. La carga de la esfera exterior es, por ser la distribución de nuevo uniforme,

$Q_2 = 4\pi (2a)^2(\sigma_0)=16\pi a^2\sigma_0\,$

y el campo eléctrico resultante

$Q_\mathrm{int}(r)=Q_1+ Q_2 = 12\pi a^2\sigma_0\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=\frac{3\sigma_0a^2}{\varepsilon_0 r^2}\mathbf{u}_r\quad(r>2a)$

Vemos que el campo exterior no es nulo, por ser la carga neta distinta de cero, ya que la carga positiva de la esfera exterior es más grande que la negativa de la interior.

2.2 Densidades de carga

Aunque el espesor de las cortezas esféricas sea despreciable frente al radio $a$ , ello no quiere decir que sea nulo. Existe una fina capa metálica en la cual el campo eléctrico es nulo. Existe entonces una doble discontinuidad en el campo eléctrico al atravesar cada superficie conductora: al pasar de un lado al material y al pasar del material al otro lado. Asociado a cada uno de estos saltos existe una densidad de carga superficial.

Puesto que tenemos dos láminas metálicas, existen cuatro densidades de carga superficiales diferentes:

Cara interior de la esfera interior ( $r = a -$ ): En este caso el campo es nulo tanto en el hueco de la esfera como en el material conductor, por lo que

$\sigma_{a^-} = \varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=\mathbf{u}_r\cdot(\mathbf{0}-\mathbf{0}) = 0$

Cara exterior de la esfera exterior ( $r = a +$ ): Puesto que la densidad neta de esta superficie es $- σ 0$ y en la cara interior la densidad de carga es nula, en la exterior debe ser igual a $- σ 0$ . Podemos comprobarlo

$\sigma_{a^+} = \varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=\mathbf{u}_r\cdot\left(-\frac{\sigma_0a^2}{a^2}\mathbf{u}_r-\mathbf{0}\right) = -\sigma_0$

Cara interior de la esfera exterior ( $r = 2 a -$ ): En este caso pasamos de un campo distinto de cero (en el espacio entre las dos esferas) a un campo nulo (en el material de la corteza exterior). La densidad de carga es

$\sigma_{2a^-} = \varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=\mathbf{u}_r\cdot\left(\mathbf{0}-\left(-\frac{\sigma_0a^2}{(2a)^2}\mathbf{u}_r\right)\right) = \frac{\sigma_0}{4}$

Cara exterior de la esfera exterior ( $r = 2 a +$ ): Ahora pasamos de un campo nulo (en el material de la corteza exterior) a un campo distinto de cero. La densidad de carga es

$\sigma_{2a^-} = \varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=\mathbf{u}_r\cdot\left(\frac{3\sigma_0a^2}{(2a)^2}\mathbf{u}_r-\mathbf{0}\right) = \frac{3\sigma_0}{4}$

Como debe ser, la suma de las densidades de carga en esta superficie nos da la densidad de carga neta

$\sigma_{2a}=\sigma_{2a^-}+\sigma_{2a^+}=\frac{\sigma_0}{4}+\frac{3\sigma_0}{4}=\sigma_0$

3 Potencial y energía

3.1 Potencial de las esferas

Existen múltiples formas de hallar el potencial de ambas esferas.

La más simple consiste en emplear la relación entre cargas y potenciales para conductores esféricos concéntricos, según la cual

$\mathbf{Q}=\mathbf{C}\cdot\mathbf{V}\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{V}=\mathbf{C}^{-1}\cdot\mathbf{Q}\,$

siendo en este caso la inversa de la matriz de coeficientes de capacidad e inducción

$\mathbf{C}^{-1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\begin{pmatrix}1/a & 1/b \\ 1/b & 1/b\end{pmatrix}$

Desarrollando quedan las relaciones

$V_1 = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 a}+\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}$ $V_2=\frac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0b}$

En nuestro caso $b = 2 a$ , $Q 1 = - 4π a 2 σ 0$ y $Q 2 = 16π a 2 σ 0$ , lo que nos da los potenciales

$V_1= -\frac{\sigma_0 a^2}{\varepsilon_0a} + \frac{4a^2\sigma_0}{2a} = \frac{\sigma_0a}{\varepsilon_0}$ $V_2=\frac{3a^2\sigma_0}{2a}=\frac{3a\sigma_0}{2\varepsilon_0}$

Alternativamente podemos emplear el principio de superposición, sumando los potenciales debidos a superficies esféricas cargadas. O emplear un circuito equivalente.

3.2 Energía electrostática

Una vez que tenemos la carga y el potencial de cada esfera, la energía electrostática la calculamos como

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2$

Sustituyendo

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}(-4\pi a^2\sigma_0)\left(\frac{\sigma_0a}{\varepsilon_0}\right)+\frac{1}{2}(16\pi a^2\sigma_0)\left(\frac{3\sigma_0a}{2\varepsilon_0}\right)=\frac{10\pi a^3\sigma_0^2}{\varepsilon_0}$

4 Estado tras la conexión

Cuando se conectan las dos esferas se transforman en el mismo conductor. Se produce entonces un flujo de carga. Podemos ver este flujo de carga de dos formas no excluyentes:

La carga positiva va desde la esfera de mayor potencial (la exterior) a la de menor (la interior). Este flujo de carga positiva continúa mientras haya campo debido a las cargas negativas interiores que atraiga a las positivas y se detendrá cuando el campo de la carga positiva entrante anule completamente al de la carga negativa que había.
La repulsión entre las cargas negativas tiende a separarlas, moviéndose estas cargas de menor a mayor potencial (ya que la fuerza eléctrica va en sentido opuesto al campo si $q < 0$ ). Las cargas negativas se van hacia el exterior hasta que finalmente la esfera interior queda descargada y cesa de producir campo eléctrico.

Ambos procesos pueden darse simultáneamente, u ocurrir solo uno de ellos. Desde el punto de vista del estado equilibrio final son equivalentes. En el estado final las dos esferas están al mismo potencial y no hay carga en la esfera interior.

4.1 Campo eléctrico

Aplicamos de nuevo la ley de Gauss a cada una de las regiones, admitiendo de nuevo que el campo es central.

I. Región interior ( $r < a$ ): Como antes de la conexión, el campo en todas partes es central y, por no haber carga en el interior de la esfera pequeña, el campo en su hueco es nulo.

$\mathbf{E}=\mathbf{0}\quad (r<a)$

II. Región intermedia ( $a < r < 2 a$ ): Cuando las dos esferas están al mismo potencial, el espacio entre ellas es un hueco cuyas paredes están todas a la misma tensión. Por tanto, en el espacio intermedio el potencial es uniforme y el campo eléctrico es nulo

$\mathbf{E}=-\nabla\phi = \mathbf{0}\quad (a<r<2a)$

Esto implica que la carga en la esfera interior es nula, pues el campo es continuo al atravesar esta superficie (es nulo a ambos lados). Esto es consistente con el hecho de que en un conductor en equilibrio, vacío en su interior, toda la carga se va hacia la superficie exterior.

III. Región exterior ( $r > 2 a$ ): La carga total del sistema se conserva, solo que ahora está toda ella en la esfera exterior. A la hora de hallar el campo en el exterior mediante la ley de Gauss, la carga encerrada es exactamente la misma que en el primer apartado. Por ello, el campo en el exterior del sistema es exactamente el mismo que antes:

$\mathbf{E}=\frac{3\sigma_0a^2}{\varepsilon_0 r^2}\mathbf{u}_r\quad (r>2a)$

4.2 Potencial eléctrico

El potencial eléctrico lo calculamos del mismo modo que en el apartado anterior, pero con las nuevas cargas, que son ahora:

$Q'_1 = 0\qquad Q'_2 = Q_1+Q_2 = 12\pi a^2 \sigma_0$

Obtenemos los potenciales

$V'_1 = \frac{Q'_1}{4\pi\varepsilon_0 a}+\frac{Q'_2}{8\pi\varepsilon_0 a} = \frac{3\sigma_0a}{2\varepsilon_0}$ $V'_2 = \frac{Q'_1+Q'_2}{8\pi\varepsilon_0a} = \frac{3\sigma_0a}{2\varepsilon_0}$

Este resultado debe aparecer evidente: si el campo exterior es el mismo que antes de la conexión, el potencial de la esfera exterior, que es la integral de este campo desde el infinito hasta la esfera, no se ve afectado por la conexión y es el mismo de antes. El potencial de la esfera interior, ahora, es el mismo que el de la esfera exterior y por tanto igual a $V 2$ .

5 Variación en la energía

La energía en el estado final es

$U_{\mathrm{e}f} = \frac{1}{2}\overbrace{Q'_1}^{=0}V'_1+\frac{1}{2}Q'_2V'_2 = \frac{1}{2}\left(12\pi a^2\sigma_0\right)\left(\frac{3\sigma_0a}{2\varepsilon_0}\right) = \frac{9\pi a^3\sigma_0^2}{\varepsilon_0}$

La variación en la energía respecto al estado inicial es

$\Delta U_\mathrm{e}= U_{\mathrm{e}f}-U_{\mathrm{e}i}= \frac{9\pi a^3\sigma_0^2}{\varepsilon_0}-\frac{10\pi a^3\sigma_0^2}{\varepsilon_0} = -\frac{\pi a^3\sigma_0^2}{\varepsilon_0}$

Vemos que la energía almacenada ha disminuido en el proceso de conexión.

Esta disminución coincide con la energía almacenada por el campo eléctrico inicial en la región entre las dos esferas, ya que el único cambio, desde el punto de vista del campo es que en esa región ha pasado de ser distinto de 0 a ser nulo.

$\Delta U_\mathrm{e} = \int_{a<r<2a}\left(\frac{1}{2}\varepsilon_0E^2\right)\mathrm{d}\tau$

En cuanto al mecanismo por el cual se ha disipado esta cantidad de energía, es necesario analizar el transitorio entre el estado inicial y el final de equilibrio. Mientras las cargas viajan de la esfera interior a la exterior, se produce una corriente por el cable de conexión, que, como toda corriente, disipa energía en forma de calor.

Superficies esféricas concéntricas cargadas

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1 Enunciado

2 Campo eléctrico y cargas

2.1 Campo eléctrico

2.2 Densidades de carga

3 Potencial y energía

3.1 Potencial de las esferas

3.2 Energía electrostática

4 Estado tras la conexión

4.1 Campo eléctrico

4.2 Potencial eléctrico

5 Variación en la energía

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