Cargas en los vértices de un cuadrado (GIOI)
De Laplace
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1 Enunciado
Se tienen cuatro cargas en los vértices de un cuadrado cuya diagonal mide 20 cm, según ilustra la figura. Los valores de todas las cargas son +10 nC o −10 nC
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¿Cuánto vale aproximadamente la fuerza sobre una carga de 10 nC situada en el centro del cuadrado?
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¿Cuánto vale aproximadamente el trabajo para llevar la carga central hasta el infinito?
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Suponiendo que no está la carga central, ¿cuánto vale la energía electrostática almacenada en el sistema?
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¿Qué trabajo hay que realizar para permutar una carga positiva por una negativa vecina?
![Archivo:Cuatro-cargas-cuadrado.png](/wiki/images/a/a1/Cuatro-cargas-cuadrado.png)
2 Fuerza sobre una carga central
El par de cargas situadas sobre el eje Z produce una fuerza neta en el sentido del eje X positivo. Las dos cargas sobre el eje Y una fuerza igual en el sentido del eje Y. La fuerza total tendrá entonces iguales componentes en los dos ejes e irá en el sentido del primer cuadrante. Esto reduce las posibles respuestas a la B o a la D. Para saber cuál es la correcta debemos aplicar la ley de Coulomb.
La fuerza debida a la carga situada en la parte negativa del eje X es
![\vec{F}_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1q_0}{d^2}\vec{\imath}=9\times 10^9\frac{(10^{-8})^2}{(0.1)^2}\vec{\imath}\,\mathrm{N}=90\vec{\imath}\,\mu\mathrm{N}](/wiki/images/math/f/0/9/f09ae441c33fe5e26fe00022a3b7acc1.png)
La debida a la carga situada en la parte positiva del eje X es igual a esta. Las de las cargas en el eje Y iguales pero en el sentido de . Por tanto, la fuerza neta es
![\vec{F}=180(\vec{\imath}+\vec{\jmath})\,\mu\mathrm{N}](/wiki/images/math/8/7/0/870d2e79a21dbf5ec1871e532a055634.png)
3 Trabajo para mover la carga
El punto central se encuentra en una posición simétrica respecto a las dos cargas de la misma magnitud y signo opuesto situadas en el eje Z. Lo mismo ocurre con las del eje Y. Por tanto, el potencial al que se encuentra la carga es nulo
![V(\vec{0})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{d}+\frac{-q}{d}+\frac{q}{d}+\frac{-q}{d}\right)=0](/wiki/images/math/6/1/8/6185fb75ee1cc5f0a5c98ba675279aa5.png)
Dado que el infinito también se encuentra a potencial nulo, el trabajo para ir de un punto a otro es cero.
![W_\mathrm{in}=q\,\Delta V = q(0-0) = 0](/wiki/images/math/d/f/4/df46498d5911610fbf163b6bfdb2bb90.png)
El subíndice "in" quiere decir que este es un trabajo externo que se realiza 'sobre' el sistema.
4 Energía almacenada
Cada carga se encuentra sometido al potencial de dos cargas opuestas situadas simétricamente (cuyos potenciales respectivos se anulan) y de una de signo opuesto, que produce una energía potencial negativa.
Podemos hallar el valor de la energía.
![U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\sum_i q_iV'(\vec{r}_i)](/wiki/images/math/e/9/5/e95a956f223d9a641dd6cc270c43fe5d.png)
siendo el potencial en cada carga debido al resto de cargas del sistema. Para la carga del eje X negativo vale
![q_1=q=10^{-8}\mathrm{C}\qquad\qquad V'_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{2d}-\frac{q}{d\sqrt{2}}\right)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{2d}=-450\,\mathrm{V}](/wiki/images/math/9/5/8/958cf0a7ae47848e7c2e9be48165bd95.png)
Lo que da una contribución para esta carga
![\frac{1}{2}q_1V'_1=-\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0d}=-2.25\,\mu\mathrm{J}](/wiki/images/math/a/e/6/ae633566e7a444d43d8927645beb0313.png)
Operando igualmente para las otras tres cargas obtenemos
![U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\times 4\times\left(-\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 d}\right)=-\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d}=-\frac{9\times 10^9\times(10^{-8})^2}{0.1}=-9\,\mu\mathrm{J}](/wiki/images/math/c/7/1/c7138c122cab3fe4ea28d80809106568.png)
5 Trabajo para permutar cargas
A la hora de calcular el trabajo para permutar dos cargas, podemos hacerlo de dos formas:
- A partir de la diferencia entre la energía final y la inicial
- Calculando el trabajo en un proceso que lleve del estado inicial al final.
En el primer caso, ya tenemos la energía inicial
![U_\mathrm{eA}=-9\,\mu\mathrm{J}](/wiki/images/math/d/f/8/df8652732a5df2c08787a6cc93ebfa90.png)
La energía final se calcula observando que en esa situación cada carga tiene como cargas contiguas dos del signo opuesto y enfrente una del mismo signo. Por tanto, para cada carga
![\frac{1}{2}q_1 V'_1 = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\left(2\left(\frac{-q^2}{d\sqrt{2}}\right)+\frac{q^2}{2d}\right)=-4.11\,\mu\mathrm{J}](/wiki/images/math/c/8/5/c85a6d52931a8f44ed11dc20071e7fd3.png)
como las cuatro cargas están en la misma situación, la energía total final es
![U_\mathrm{eB}=4\times(-4.11\,\mu\mathrm{J})=-16.5\,\mu\mathrm{J}](/wiki/images/math/5/b/0/5b040123ee6b38d7c89e712765bb5c89.png)
y por tanto, el trabajo necesario para realizar la permuta es
![W_\mathrm{in}=U_\mathrm{eB}-U_\mathrm{eA}=-16.5\,\mu\mathrm{J}+9\,\mu\mathrm{J}=-7.5\,\mu\mathrm{J}](/wiki/images/math/a/f/0/af05162758544ecc6149083bfc4d4735.png)