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Movimiento con datos numéricos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

La posición de una partícula en distintos instantes de tiempo es, aproximadamente

t (s) 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50
x (m) 0.000 6.125 9.750 11.250 11.000 9.375 6.750


t (s) 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00
x (m) 3.500 0.000 -3.375 -6.250 -8.250 -9.000

Para este movimiento, halle:

  1. El desplazamiento entre t = 0\,\mathrm{s} y t=3\,\mathrm{s}, así como el valor aproximado de la distancia recorrida en dicho intervalo.
  2. La velocidad media y la rapidez media en el intervalo anterior.
  3. El valor aproximado de la velocidad en t= 2\,\mathrm{s}.
  4. El valor aproximado de la aceleración en t= 2\,\mathrm{s}.
  5. Sabiendo que este movimiento sigue una ley de la forma
x = A_0 + A_1 t + A_2 t^2 + A_3 t^3\,
Calcule
  1. Los valores de las constantes Ak.
  2. El valor exacto de la distancia recorrida y la rapidez media.
  3. El valor exacto de la velocidad y de la aceleración en t = 2\,\mathrm{s}.

2 Desplazamiento y distancia recorrida

2.1 Desplazamiento

El desplazamiento es simplemente la diferencia entre la posición final y la inicial

\Delta x = x_2 - x_1 = x(3\,\mathrm{s})-x(0\,\mathrm{s}) = (-9.000 - 0)\,\mathrm{m}=-9.000\,\mathrm{m}

2.2 Distancia

Hallar la distancia total recorrida es un poco más complicado, ya que depende de lo que ocurre durante el movimiento. Tenemos que la partícula parte del origen, se aleja hasta una cierta posición, siendo el máximo aproximado 10.250 m (puede alejarse un poco más en las proximidades de dicho punto y a partir de ahí retrocede de forma continuada hasta la posición final. A la ida recorre esos 11.250 m y a la vuelta los mismos más 9.000 m. La distancia total recorrida será entonces

\Delta s \simeq 10.250\,\mathrm{m} + |9.000 + 11.250|\,\mathrm{m} = 31.50\,\mathrm{m}

3 Velocidad y rapidez media

3.1 Velocidad media

La velocidad media es el desplazamiento dividido por el intervalo de tiempo empleado en recorrerlo

v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{-9.000\,\mathrm{m}}{3.00\,\mathrm{s}}=-3.00\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

3.2 Rapidez media

Esta es igual a la distancia recorrida dividida por el intervalo de tiempo

|v|_m = \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{31.50\,\mathrm{m}}{3.00\,\mathrm{s}}=10.5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

4 Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a 0. En este caso no podemos tomar el límite, ya que solo tenemos valores en puntos discretos. Podemos aproximar la velocidad instantánea como la velocidad media entre dos instantes vecinos.

Tomando el intervalo entre 2.00s y 1.75s queda

v\simeq \frac{0.000\,\mathrm{m}-3.500\,\mathrm{m}}{2.00\,\mathrm{s}-1.75\,\mathrm{s}}=-14.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

Si tomamos el intervalo entre 2.00s y 2.25s resulta

v\simeq \frac{-3.375\,\mathrm{m}-0.000\,\mathrm{m}}{2.25\,\mathrm{s}-2.00,\mathrm{s}}=-13.5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

Estos dos valores son próximos pero no iguales. Obtenemos una mejor aproximación tomando la media entre ambos

v\simeq \frac{1}{2}(-14.0-13.5)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = -14.75\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

5 Aceleración instantánea

La aceleración la aproximamos como el incremento en la velocidad instantánea dividido por el intervalo de tiempo. El incremento en la velocidad instantánea lo hallamos a partir de la dos valores que acabamos de calcular

a\simeq \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{-13.5+14.0}{0.25}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} =+2.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

6 Ecuación horaria

Cuando sabemos que la posición sigue una determinada ley, en este caso

x(t) = A_0 + A_1 t + A_2 t^2 + A_3 t^3\,

la forma de obtener los coeficientes es sustituir los valores en tantos instantes como coeficientes haya por determinar. De esta forma se obtiene un sistema de ne ecuaciones con n incógnitas, cuya solución nos da los coeficientes buscados.

Así, sis sustituimos para t = 0,1,2 y 3s obtenemos

\begin{array}{rcl} A_0+A_1\cdot 0 + A_2\cdot 0^2 + A_3 \cdot 0^3 & = & x(0) = 0 \\ A_0+A_1\cdot 1 + A_2\cdot 1^2 + A_3 \cdot 1^3 & = & x(1) = 11 \\ A_0+A_1\cdot 2 + A_2\cdot 2^2 + A_3 \cdot 2^3 & = & x(2) = 0 \\ A_0+A_1\cdot 3 + A_2\cdot 3^2 + A_3 \cdot 3^3 & = & x(3) = -9 \end{array}

De la primera ecuación obtenemos

A_0=0\,\mathrm{m}

mientras que de las otras tres llegamos al sistema de ecuaciones

\begin{array}{rcl} A_1 + A_2 +A_3 & = & 11 \\ 2A_1 + 4A_2 + 8A_3 & = & 0 \\ 3A_1 + 9A_2 + 27A_3 & = & -9 \end{array}

Resolviendo este sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas obtenemos que

A_1 = 30\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad A_2 = -23\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\qquad A_3 = 4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3}

y la ecuación horaria, en las unidades fundamentales del SI es

x(t) = 30t-23t^2 + 4t^3\,

A partir de aquí puede hallarse el resto de magnitudes.

7 Valores exactos de la distancia y la rapidez media

Ahora podemos calcular el valor exacto del máximo alejamiento. Este se da cuando la velocidad se anula. Derivando la posición

v = \dot{x} = 30-46t+12t^2

que se anula en

0 = v = 30-46t+12t^2\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{5}{6}\mathrm{s}\qquad t = 3\,\mathrm{s}

El máximo corresponde a la primera raíz, para la cual

x(5/6) = \frac{1225}{108}\,\mathrm{m} = 11.34\,\mathrm{m}

Lo que da una distancia total recorrida

\Delta s = 11.34\,\mathrm{m}+(11.34+9.00)\,\mathrm{m} = 31.69\,\mathrm{m}

y de aquí calculamos la rapidez media

|v|_m = \frac{31.69\,\mathrm{m}}{3.00\mathrm{s}}= 10.56\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

8 Valores exactos de las magnitudes instantáneas

El valor exacto de la velocidad en t = 2s lo obtenemos sustituyendo en la función que acabamos de calcular

v(t=2) = 30-46\cdot 2+12\cdot 2^2 = -14\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

y el de la aceleración mediante la segunda derivada

a(t) = \dot{v} = -46+24 t

que en t = 2s da

a(t=2) = 2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

Vemos que los resultados aproximados hallados antes se acercan mucho a los calculados analíticamente mediante la ecuación horaria.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Movimiento_con_datos_num%C3%A9ricos"

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