Intersección de dos pistas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Corriente en el tercer electrodo
3 Coeficientes de conductancia
4 Circuito equivalente
5 Caso particular
- 5.1 Por el principio de superposición
6 Potencia disipada
7 Una nota sobre circuitos equivalentes

1 Enunciado

Una intersección de dos pistas en un circuito integrado se puede modelar como una cruz con brazos de igual longitud a la cual están conectados tres electrodos “vivos” (“1” a “3”) y uno de tierra (“0”), según se indica en la figura. Se sabe que cuando el electrodo 1 se encuentra a una tensión de +12 V y el resto a tierra, por el electrodo 1 entra una corriente de +7.04 mA, mientras que por el conductor 2 entra (según el criterio usual de signos) una de −2.63 mA.

Determine la corriente que entra (siguiendo el mismo criterio) por el electrodo 3 en la situación anterior.
Halle la matriz de coeficientes de conductancia del sistema de tres electrodos vivos.
Construya un circuito equivalente para el sistema de electrodos, que no emplee nodos intermedios. Halle los valores de las resistencias de este circuito.
Si el electrodo 1 se deja a +12 V y el 3 a tierra, pero el 2 se pone a −5 V. ¿Cuánta corriente entrará por cada electrodo vivo?
Para el caso original y para el del apartado anterior, ¿cuánta potencia se disipa en el sistema?

2 Corriente en el tercer electrodo

La clave de este problema es hacer uso de la simetría del sistema. Al tener forma de cruz griega (con los brazos iguales) vamos a poder tratar todos los electrodos de forma análoga.

En la situación descrita, la corriente entra por el electrodo 1 (lo que corresponde al signo positivo para la corriente), y a partir de ahí se distribuye y sale por los otros tres (que tendrán, por tanto, corrientes de entrada negativas). Sin embargo, no se distribuye entre los tres por igual. Si así fuera no necesitaríamos conocer la corriente por el electrodo 2.

La corriente se repartirá por igual a la izquierda y a la derecha, pero no necesariamente fluirá la misma corriente hacia el electrodo 3.

Podemos encontrar el valor de esta última corriente simplemente restando. En un estado estacionario

$I_1 + I_2 + I_3 + I_0 = 0\,$

y de aquí

$I_3 = -(I_1 + I_2+I_0)\,$

Pero, por la simetría,

$I_0 = I_2 = -2.63\,\mathrm{mA}$

y la corriente que entra por el electrodo 3 es

$I_3 = -I_1 - I_2-I_0 = -7.04\,\mathrm{mA}+2\times 2.63\,\mathrm{mA} = -1.78\,\mathrm{mA}$

Obsérvese que no hace falta diseñar ningún circuito previo, y que la única hipótesis es suponer que la corriente se distribuye por igual a la derecha y a la izquierda.

3 Coeficientes de conductancia

Si tenemos las corrientes que llegan a ciertos electrodos cuando uno de ellos se encuentra a un cierto voltaje y el resto a tierra podemos calcular los coeficientes de conductancia simplemente dividiendo. Si es V_1 la que está fijada y $V_2 = V_3 = 0\,\mathrm{mV}$ será

$I_1 = G_{11}V_1+\overbrace{G_{12}V_2}^{=0}+\overbrace{G_{13}V_3}^{=0} = G_{11}V_1\qquad\Rightarrow\qquad G_{11}=\frac{I_1}{V_1}=0.587\,\mathrm{mS}$

Del mismo modo se hallan $G 21$ y $G 31$

$G_{21}=\frac{I_2}{V_1}=-0.219\,\mathrm{mS}$ $G_{31}=\frac{I_3}{V_1}=-0.148\,\mathrm{mS}$

Ya tenemos la primera columna de la matriz de conductancias. La simetría de la matriz nos da los elementos restantes de la primera fila

$G_{12}=G_{21}=-0.219\,\mathrm{mS}$ $G_{13}=G_{31}=-0.148\,\mathrm{mS}$

El siguiente elemento a calcular es el $G 22$ , que corresponde a la corriente que entra por el electrodo 2 cuando dicho electrodo está a potencial unidad y el resto a tierra. Aquí entra de nuevo la simetría del sistema. Por la forma de cruz griega, esta corriente será idéntica a la que entraría por el electrodo 1 si fuera éste el que estuviera a potencial unidad y el resto a tierra. Es decir,

$G_{22}=G_{11}=0.587\,\mathrm{mS}$

y, por el mismo motivo

$G_{33}=G_{11}=0.587\,\mathrm{mS}$

Nos queda solamente el elemento $G 32 = G 23$ que es la corriente que entra al electrodo 3 cuando el 2 está a potencial unidad y el resto a tierra. De nuevo por la simetría bilateral, la corriente que entrará por el electrodo 3 en esta situación es la misma que la que entraría por el 1, esto es

$G_{32}=G_{12}=-0.219\,\mathrm{mS}$

Con esto está completa la matriz de coeficientes de conductancia

$\mathbf{G}=\begin{pmatrix}0.587 & -0.219 & -0.148\\-0.219 & 0.587 & -0.219 \\ -0.148 & -0.219 & 0.587\end{pmatrix}\,\mathrm{mS}$

Esta matriz, como debe ser, es simétrica, con elementos de la diagonal positivos y elementos no diagonales negativos.

4 Circuito equivalente

El circuito equivalente mínimo para este sistema está formado por seis resistencias:

Una por cada par de nodos, siendo su conductancia

$\overline{G}_{ik}=-G_{ik}$

y su resistencia

$\overline{R}_{ik}= \frac{1}{\overline{G}_{ik}}$

En nuestro caso, para el par 1-2

$\overline{G}_{12}=-G_{12}=0.219\,\mathrm{mS}$ $\Rightarrow$ $\overline{R}_{12} = \frac{1}{\overline{G}_{12}}=4.566\,\mathrm{k}\Omega$

Llamaremos $R 1$ a este valor de la resistencia

$R_1 = \overline{R}_{12} =4.566\,\mathrm{k}\Omega$

Para el par 2-3 resulta la misma resistencia, por simetría

$\overline{G}_{23}=-G_{23}=-G_{12}=0.219\,\mathrm{mS}$ $\Rightarrow$ $\overline{R}_{23} = 4.566\,\mathrm{k}\Omega=R_1$

Para el par 1-3 la conductancia y la resistencia valen

$\overline{G}_{13}=-G_{13}=0.148\,\mathrm{mS}$ $\Rightarrow$ $\overline{R}_{13} = \frac{1}{\overline{G}_{13}}=6.741\,\mathrm{k}\Omega$

Llamamos $R 2$ a este valor

$R_2 = \overline{R}_{13} =6.741\,\mathrm{k}\Omega$

Además tenemos tres resistencias adicionales, que conectan cada nodo con tierra. La (auto)conductancia vale

$\overline{G}_{ii}=\sum_k G_{ik}$ $\Rightarrow$ $\overline{G}_{11}=G_{11}+G_{12}+G_{13}=0.219\,\mathrm{mS}$

que es igual a la que conecta al nodo 1 con el 2, como es de esperar de acuerdo con la geometría del sistema. La resistencia vale, como antes

$\overline{R}_{11} = 4.566\,\mathrm{k}\Omega=R_1$

El mismo valor se tiene para la autoconductancia del nodo 3

$\overline{G}_{33}=G_{31}+G_{32}+G_{33}=0.219\,\mathrm{mS}$ $\Rightarrow$ $\overline{R}_{33}=4.566\,\mathrm{k}\Omega=R_1$

mientras que la que conecta el nodo 2 con tierra será igual a la que conecta el nodo 1 con el 3 (extremos opuestos de la cruz)

$\overline{G}_{22}=G_{21}+G_{22}+G_{23}=0.148\,\mathrm{mS}$ $\Rightarrow$ $\overline{R}_{22}=6.741\,\mathrm{k}\Omega=R_2$

Así pues, aun cuando el circuito se compone de seis resistencias (más las posibles fuentes de tensión), sólo hay dos valores diferentes: el que conecta brazos contiguos de la cruz, $R 1$ y el que conecta brazos opuestos, $R 2$ .

Aparte, para cada caso concreto, habría que añadir las fuentes de tensión correspondientes. En el caso del enunciado sería una de +12 V en el nodo 1 y dos conexiones a tierra (además de la permanente).

5 Caso particular

Una vez que tenemos la matriz de conductancias, podemos aplicarla para hallar las corrientes en cualquier caso particular. En concreto, si $V_1 = 12\,\mathrm{V}$ , $V_2 = -5\,\mathrm{V}$ , las corrientes que entran por cada electrodo son

$\mathbf{I}=\mathbf{G}\cdot\mathbf{V}$ $\Rightarrow$ $\begin{pmatrix}I_1 \\ I_2 \\ I_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0.587 & -0.219 & -0.148\\-0.219 & 0.587 & -0.219 \\ -0.148 & -0.219 & 0.587\end{pmatrix}\mathrm{mS}\cdot\begin{pmatrix}12 \\ -5 \\0 \end{pmatrix}\mathrm{V}=\begin{pmatrix}8.136 \\ -5.563 \\-0.684\end{pmatrix}\mathrm{mA}$

O, separando cada corriente

$I_1 = 8.136\,\mathrm{mA}$ $I_2 = -5.563\,\mathrm{mA}$ $I_3 = -0.684\,\mathrm{mA}$

Estas tres corrientes no suman cero porque existe también una corriente que va a parar al electrodo de tierra.

5.1 Por el principio de superposición

Este apartado puede también resolverse sin necesidad de conocer los coeficientes $G i j$ , mediante la aplicación del principio de superposición. Las corrientes que entran a los electrodos cuando $V_1=12\,\mathrm{V}$ , $V_2=-5\,\mathrm{V}$ y el resto a tierra, es la suma de las que habría si $V_1=12\,\mathrm{V}$ y el resto a tierra, más las que habría si $V_2=-5\,\mathrm{V}$ y el resto a tierra.

El primer caso ya lo conocemos, si $V_1=12\,\mathrm{V}$ , $V_2=V_3=0\,\mathrm{V}$

$I_{1a}=7.04\,\mathrm{mA}$ $I_{2a}=-2.63\,\mathrm{mA}$ $I_{3a}=-1.78\,\mathrm{mA}$ $I_{0a}=-2.63\,\mathrm{mA}$

En el segundo caso, por la simetría del sistema, resultan corrientes proporcionales a estas, tras una rotación de 90° del sistema. Si $V_2=-5\,\mathrm{V}$ , $V_1=V_3=0\,\mathrm{V}$

$I_{1b}=-\frac{5}{12}I_{0a}=1.10\,\mathrm{mA}$ $I_{2a}=-\frac{5}{12}I_{1a}=-2.93\,\mathrm{mA}$ $I_{3a}=-\frac{5}{12}I_{2a}=1.10\,\mathrm{mA}$

Sumando estas dos soluciones particulares

$I_1=I_{1a}+I_{1b}= 8.14\,\mathrm{mA}$ $I_2=-5.56\,\mathrm{mA}$ $I_3=-0.68\,\mathrm{mA}$

Vemos que, savo diferencias en el redondeo, el resultado es el mismo que el obtenido empleando cálculo matricial.

6 Potencia disipada

Podemos calcular la potencia disipada sin necesidad de usar ni las conductancias ni el circuito equivalente. Nos basta con conocer las corrientes y las tensiones, ya que

$P = \sum_k I_k V_k\,$

donde la suma se extiende a todos los electrodos. En términos físicos esta fórmula expresa que la potencia consumida en el sistema equivale a la aportada por los generadores.

Para el primer caso tenemos

$P = (7.04\,\mathrm{mA})(12\,\mathrm{V})+(-2.63\,\mathrm{mA})(0\,\mathrm{V})+(-1.48\,\mathrm{mA})(0\,\mathrm{V})= 84.5\,\mathrm{mW}$

y para el segundo

$P = (8.136\,\mathrm{mA})(12\,\mathrm{V})+(-5.563\,\mathrm{mA})(-5\,\mathrm{V})+(-0.684\,\mathrm{mA})(0\,\mathrm{V})= 125.4\,\mathrm{mW}$

7 Una nota sobre circuitos equivalentes

A la hora de resolver este problema, existe la tentación de presuponer un cierto circuito. Concretamente uno formado por cuatro resistencias iguales formando una cruz. Como hemos visto, ese circuito no predice el resultado correcto, ya que llevaría a que la corriente que entra por el nodo 2 y por el 3 debería ser la misma, y no lo es.

¿Por qué falla, si es “evidente” que el circuito está formado por cuatro resistencias conectadas? La razón es que el cuadrado central es importante. El circuito de cuatro resistencias iguales solo vale para conductores filiformes, donde la zona de conexión puede considerarse como un nodo adicional. Pero para que la zona central pudiera considerarse un nodo debería ser equipotencial, y no lo es, ya que su gran tamaño provoca diferencias de potencial entre unos puntos y otros.

Otra forma de verlo es observar que la corriente tiende a irse por el camino de menor resistencia, que suele ser el camino más corto (a igualdad de conductividad). Y, aunque no lo parezca en una primera inspección, visto desde el electrodo 1, el electrodo 2 está más cerca que el 3, ya que considerando caminos oblicuos que se peguen a la esquina se recorre una distancia menor que en la línea recta hacia el 3 y por tanto es natural que resulte una corriente mayor hacia el electrodo 2 que hacia el 3.

La distribución de corrientes en este sistema de electrodos puede hallarse numéricamente. A la vista de la solución que se obtiene se aprecia que efectivamente una fracción mayor de la corriente que entra por el electrodo 1 va a parar al 2 y a tierra que la que va a parar al electrodo 3.

Si quisiéramos emplear un circuito en estrella para este sistema deberíamos añadir resistencias adicionales para dar cuenta de la corriente que se “escapa” por los lados, resultando un sistema de 8 resistores, cuyo análisis sería más complicado que el que hemos empleado aquí.

Los valores de las resistencias de este segundo circuito equivalente (que no es el que se pide en el enunciado, pues incluye nodos intermedios) serían diferentes a las que hemos obtenido previamente. Empleando las leyes de Kirchhoff podemos hallar sus valores y resultan ser iguales a

$R_a = 14.12\,\mathrm{k}\Omega$

para las resistencias que conectan dos nodos exteriores vecinos, y

$R_b = 1.685\,\mathrm{k}\Omega$

para las que unen cada uno de los exteriores con el nodo central.

Solo cuando el cuadrado central se reduce a un punto la resistencia $R a$ tiende a infinito y el sistema se reduce a una cruz de resistencias.

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2 Corriente en el tercer electrodo

3 Coeficientes de conductancia

4 Circuito equivalente

5 Caso particular

5.1 Por el principio de superposición

6 Potencia disipada

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