Evolvente de una circunferencia (GIE)
De Laplace
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1 Enunciado
La evolvente de una circunferencia es la curva plana que se obtiene cuando se desenrolla un hilo tenso de un carrete circular. Suponga que se tiene una bobina de radio A que se va desenrollando a ritmo constante, de forma que el punto C donde el hilo deja de hacer contacto con el carrete forma un ángulo θ = ωt con el eje OX. Una partícula material se encuentra en el punto P situado en el extremo del hilo, moviéndose con este extremo a medida que el hilo se va desenrollando.
- Determine el vector de posición de la partícula.
- Calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
- Determine la distancia recorrida por la partícula como función del tiempo, s = s(t).
- Halle los vectores tangente y normal a la trayectoria.
- Halle el radio de curvatura y el centro de curvatura.
2 Vector de posición
Por adición de vectores
El vector es radial y forma un ángulo ωt con el eje OX. Su módulo es A, el radio del carrete:
El vector es tangente a la circunferencia y por tanto perpendicular al radio. Para hallar las componentes de este vector podemos emplear una recta paralela al eje OX, de donde resulta
Los vectores y son ortogonales. Por formar juntos ωt, π / 2 y β un ángulo llano se cumple
Dadas las relaciones trigonométricas
queda
El módulo de lo da la cantidad de hilo desenrollado hasta ese momento, igual al producto del radio por el ángulo,
Multiplicando obtenemos el vector
Sumando los dos vectores obtenemos el vector de posición de P respecto a O
o, separando por componentes
Para simplificar la expresión del vector de posición, podemos ayudarnos de dos vectores unitarios auxiliares
Estos dos vectores son unitarios y ortogonales
y por tanto constituyen una base (en el plano). Empleando estos dos vectores, la posición instantánea se escribe
Los vectores son dependientes del tiempo, y por tanto, a la hora de derivar o integrar, habrá que tenerlos en cuenta. Se cumple que
y que
3 Velocidad y aceleración
3.1 Velocidad
Para derivar el vector de posición respecto al tiempo podemos derivar componente a componente
siendo
y
Reuniendo las dos componentes queda el vector velocidad
Empleando los vectores auxiliares definidos anteriormente, este cálculo es menos engorroso:
3.2 Aceleración
De nuevo, podemos derivar componente a componente, o ayudarnos de los vectores auxiliares. El primer método no tiene mayor dificultad, aunque los resultados son un tanto fastidiosos. El segundo es más compacto:
4 Distancia recorrida
La rapidez con que se recorre la curva la da el módulo de la velocidad
e integrando esta ecuación obtenemos la distancia recorrida como función del tiempo desde el instante inicial
5 Vectores tangente y normal
5.1 Vector tangente
Hallamos el vector unitario tangente normalizando la velocidad
Obsérvese que el vector unitario tangente resulta paralelo al vector
5.2 Vector normal
La aceleración tangencial de la partícula la podemos hallar derivando la rapidez
y en forma vectorial
La aceleración completa contiene un término en la dirección de (paralelo a la velocidad) y uno en la dirección de (perpendicular a y por tanto a la velocidad). Este segundo término es la aceleración normal, en forma vectorial
Este vector tiene por módulo
Dividiendo el vector aceleración normal por su módulo obtenemos el vector normal
Obsérvese que el vector normal apunta siempre hacia el interior de la trayectoria (hacia donde esta se curva), y por lo tanto es de sentido contrario al vector .
6 Radio y centro de curvatura
Podemos hallar el centro y el radio de curvatura directamente a partir de la velocidad y la aceleración. Sin embargo, es más ilustrativo emplear componentes intrínsecas de la aceleración
Una vez que tenemos el vector tangente y el vector normal, podemos, por simple inspección, escribir
y por tanto
Vemos que, dado que la aceleración tangencial es constante, el movimiento es uniformemente acelerado.
El radio de curvatura lo obtenemos de la velocidad y la aceleración normal
Vemos que va aumentando gradualmente en el tiempo, como corresponde a que la curva es una espiral que se va abriendo.
La posición de los centros de curvatura es
que nos da
Pero esta es justamente la posición del punto C. Por tanto, el conjunto de los centros de curvatura (lo que se conoce como evoluta) es la propia circunferencia del carrete.