Dinámica de la partícula y los sistemas vinculados (CMR)

De Laplace

1 Definición

Una partícula vinculada es aquella cuyo movimiento se ve restringido por una ligadura o vínculo (o enlace), de manera que no todos los puntos del espacio son accesibles.

El ejemplo más sencillo es el de una superficie, como puede ser la de una mesa, que impide que la partícula se mueva por puntos por debajo de una superficie. De la misma manera, una partícula atada a un péndulo inextensible se mueve de forma que la distancia al punto de anclaje nunca es mayor que la longitud del hilo o varilla del péndulo.

2 Ecuación del vínculo

Los vínculos o ligaduras se modelan mediante ecuaciones que relacionan las coordenadas y componentes de la posición, velocidad y posiblemente el tiempo. Típicamente un vínculo se escribirá en la forma

$f(x,y,z,v_x,v_y,v_z,t)= 0\,$

o si empleamos otras variables para describir la posición

$f(q_k,\dot{q}_k,t)= 0\qquad\qquad k=1,2,3$

En el caso más general, como veremos, en lugar de una igualdad hay una desigualdad.

La mesa como vínculo

Así, por ejemplo, la existencia de una mesa horizontal en $z = 0$ hace que la posición de la partícula verifique

$z \geq 0\,$

Péndulos rígidos y flexibles

De la misma manera, una masa atada a un péndulo cuyo otro extremo se encuentra en el origen de coordenadas verifica

$x^2+y^2+z^2 \leq \ell_0^2\,$

si se trata de un hilo flexible y

$x^2+y^2+z^2 = \ell_0^2\,$ si se trata de una varilla rígida de longitud $\ell_0$ .

Las ecuaciones de los vínculos se basan la mayoría de ellas en idealizaciones: hilos inextensibles, superficies absolutamente impenetrables, resistencia infinita a la tracción o compresión, etc. Por ello, en situaciones reales habrá que considerar la no idealidad de las ligaduras.

Dada la gran variedad de ligaduras posibles, es útil clasificarlas atendiendo a diferentes criterios.

3 Clasificaciones de los vínculos

3.1 Bilaterales y unilaterales

La primera división, que ya se ha mencionado, es:

Unilaterales: Impiden el movimiento en solo un sentido y se expresan mediante una desigualdad. Sería el caso de un péndulo en el que la masa pende de un hilo flexible e inextensible.

$x^2+y^2+z^2\leq \ell_0^2$

Bilaterales: Impiden el movimiento en ambos sentidos y se expresan mediante una igualdad. En el caso del péndulo, corresponde a que la masa cuelgue de una varilla rígida de masa despreciable.

$x^2+y^2+z^2= \ell_0^2$

La dificultad matemática adicional que suponen los vínculos unilaterales, por ser las desigualdades más complejas de tratar analíticamente, hace que se prefiera tratar con vínculos bilaterales. Para tratar el caso unilateral, lo que se suele hacer es dividir el movimiento en intervalos. En aquellos en que el vínculo no está actuando se supone que la partícula no está sometida a él. Una vez que restringe el movimiento, se considera que es bilateral.

En el ejemplo del hilo flexible imaginemos que la masa se suelta desde una cierta altura, con el hilo destensado. Inicialmente la masa cae verticalmente. Durante ese tiempo, la partícula se considera no vinculada. Una vez que la distancia al origen coincide con la longitud del hilo, éste se tensa y la masa pasa a oscilar como lo haría un péndulo rígido. Ahora se trata como un vínculo bilateral.

Este tipo de tratamiento obliga a estudiar en qué momento del movimiento se impone el vínculo, y qué ocurre cuando se impone. Esto se modela mediante dinámica impulsiva, admitiendo que la partícula sufre una percusión.

Al igual que los vínculos se imponen, también pueden suprimirse. Sería el caso de una partícula que desliza por la superficie de una esfera. Llega un punto en que se separa de la superficie y pasa a describir un movimiento parabólico, siendo una partícula no vinculada.

3.2 Lisos y rugosos

La siguiente clasificación se refiere a la presencia de rozamiento.

Rugosos: existe rozamiento en la superficie que define el vínculo, de forma que existe una oposición al desplazamiento tangencial a ella.

Lisos: Es un tipo de vínculo ideal en el que la partícula se ve impedida en el movimiento ortogonal a la superficie que define el vínculo, pero puede moverse sin restricción en las direcciones tangenciales a ella.

3.3 Geométricos y cinemáticos

Atendiendo a las variables que aparecen en la ecuación del vínculo, tenemos:

Vínculos geométricos: Ligan exclusivamente las coordenadas de la partícula y posiblemente el tiempo.

$f(x,y,z,t)=0\,$

Más en general, si la posición se expresa en términos de coordenadas generalizadas,

q k

, tendrían la forma general

$f(q_k,t)=0\qquad\qquad k=1,2,3$

Vínculos cinemáticos: incluyen también a la velocidad

$f(x,y,z,v_x,v_y,v_z,t)=0\,$

o, en términos de las posiciones generalizadas,

q k

, y velocidades generalizadas, $\dot{q}_k$ ,

$f(q_k,\dot{q}_k,t)=0\qquad\qquad k=1,2,3$

Aunque esta es la versión más general, en lo que sigue consideraremos exclusivamente vínculos cinemáticos que sean lineales en las velocidades generalizadas, es decir

$\sum_k A_k(q_i,t)\dot{q}_k+A_0(q_i,t)=0$

Estos vínculos pueden escribirse también en la llamada forma pfaffiana

$\sum_k A_k(q_i,t)\mathrm{d}q_k+A_0(q_i,t)\mathrm{d}t=0\,$

Todo vínculo geométrico implica también un vínculo cinemático. Derivando en la ecuación del vínculo respecto al tiempo queda

$0=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\sum_k\frac{\partial f}{\partial q_k}\dot{q}_k+\frac{\partial f}{\partial t}$

o, en forma pfaffiana

$0=\mathrm{d}f=\sum_k\frac{\partial f}{\partial q_k}\mathrm{d}q_k+\frac{\partial f}{\partial t}\mathrm{d}t$

Vemos que el resultado es una ecuación lineal en las velocidades generalizadas.

El recíproco a la relación anterior no es cierta, en general: de todo vínculo cinemático no se deduce un vínculo geométrico.

Así, por ejemplo, derivando en el vínculo del péndulo rígido $x^2+y^2+z^2-\ell_0^2=0\,$

resulta que la velocidad de la lenteja debe ser perpendicular a la varilla

$0 = 2x\dot{x}+2y\dot{y}+2z\dot{z}=2\vec{r}\cdot\vec{v}$

3.4 Holónomos y no holónomos

Relacionado con lo anterior, se establece la siguiente distinción:

Vínculo holónomo: es aquél que, o bien es un vínculo geométrico o siendo cinemático puede integrarse para obtener uno geométrico.
Víncluo no holónomo: Es aquél vínculo cinemático que no se puede integrar para dar uno geométrico.

Aquí, que “no se puede integrar” no significa que resulte una integral muy complicada o imposible de hallar analíticamente, sino que es imposible llegar siquiera a plantear una integral.

Por ejemplo, el vínculo cinemático $\dot{x}y+x\dot{y}=c$

es holónomo porque puede integrarse. El primer miembro es la derivada temporal de un producto, así que podemos integrar en cada miembro y llegar al vínculo geométrico

$xy=ct+b\,$

En cambio, el vínculo cinemático aparentemente muy similar

$\dot{x}y-x\dot{y}=c$ es no integrable y no conduce a un vínculo geométrico. Este sería no holónomo.

El caso más importante de vínculo no holónomo que encontraremos más adelante es el de la rodadura sin deslizamiento de un sólido, para el cual la velocidad en el punto de contacto es nula, pero de ahí no se deduce una relación explícita entre las coordenadas.

3.5 Esclerónomos y reónomos

Esta clasificación se refiere a la aparición explícita del tiempo en el vínculo.

Vínculos esclerónomos: son aquellos en que no aparece explícitamente el tiempo, es decir, se trata de ligaduras que imponen la misma condición en todo instante

$f(q_k,\dot{q}_k)=0\,$

Vínculos reónomos: son los no esclerónomos, es decir, el tiempo aparece en la ecuación del vínculo

$f(q_k,\dot{q}_k,t)=0$

En el ejemplo del péndulo, la ecuación que hemos escrito antes es un vínculo esclerónomo $x^2+y^2+z^2 = \ell_0^2\,$

pero imaginemos que el péndulo cuelga no de un punto fijo sino de un vibrador que oscila verticalmente. En ese caso la ecuación del vínculo sería reónoma

$x^2+y^2+\left(z-b\cos(\Omega t)\right)^2 = \ell_0^2\,$

3.6 Internos y externos

En un sistema de partículas surge una clasificación adicional de los vínculos:

Vínculos internos: relacionan las coordenadas y velocidades de las partículas entre sí. Típicamente ocurre con la condición de que dos partículas se encuentren siempre a una distancia prefijada (condición de rigidez) o con las articulaciones y contactos entre diferentes partes de un mecanismo.
Vínculos externos: Ligan las coordenadas y velocidades con superficies u otros agentes externos.

Un triángulo rígido
Así, por ejemplo, supongamos un sistema de 3 partículas situadas rígidamente en los extremos de un triángulo obligado a moverse en un plano horizontal. En este caso tenemos

3 vínculos externos ya que cada una de las partículas se ve obligada a moverse sobre dicho plano

$z_1=0\qquad z_2=0\qquad z_3=0\,$

3 vínculos internos, ya que la distancia entre cada dos partículas está fijada

$(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=a^2\qquad (x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2=b^2\qquad (x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2=c^2$

4 Vínculos y grados de libertad

4.1 De una partícula

Una partícula puede estar sometida a verios vínculos simultáneamente. Así, por ejemplo, una masa atada al extremo de una varilla cuyo otro extremo está fijo y que se ve obligada a oscilar en un plano vertical dado cumple simultáneamente

$\left\{\begin{array}{rcl} y& = & 0 \\ x^2+y^2+z^2 & = & \ell_0^2 \end{array}\right.$

o equivalentemente

$\left\{\begin{array}{rcl} y& = & 0 \\ x^2+z^2 & = & \ell_0^2 \end{array}\right.$

es decir, cuando hay varios vínculos presentes, estos pueden combinarse de diferentes maneras para producir el mismo efecto.

La presencia de uno o varios vínculos implica una reducción en los movimientos posibles, y por tanto, reducen los grados de libertad de la partícula en tantos como vínculos haya, es decir

$\mathrm{GDL}=3-r\,$

siendo $r$ el número de vínculos independientes (ya que podrían ser redundantes).

Así, la partícula suspendida del péndulo rígido tiene 2 GDL. Si simultáneamente se lo obliga a oscilar sobre un plano vertical tiene 1 GDL. Si además ahora sujetamos la masa con otra varilla resultan 0 GDL. En ese momento ya la partícula no puede moverse de ninguna forma.

Cuando todos los vínculos son holónomos, podemos, en teoría, elegir un sistema de $3 - r$ coordenadas generalizadas que satisfaga automáticamente los vínculos, eliminándolos del problema.

Así, para el péndulo rígido, podemos usar coordenadas esféricas(ya que la partícula está obligada a moverse sobre la superficie de una esfera de centro el punto de anclaje y de radio la longitud de la varilla)

$\begin{array}{rcl}x & = & \ell_0\,\mathrm{sen}(\theta)\cos(\varphi)\\ y & = & \ell_0\,\mathrm{sen}(\theta)\,\mathrm{sen}(\varphi) \\ z & = & \ell_0\cos(\theta)\end{array}$

siendo solo θ y φ las coordenadas dependientes del tiempo.

Si además la masa está obligada a moverse verticalmente podemos fijar una coordenada y reducir el problema a una sola variable

$\begin{array}{rcl}x & = & \ell_0\,\mathrm{sen}(\theta)\\ y & = & 0 \\ z & = & \ell_0\cos(\theta)\end{array}$

Si además la masa se fija con otra varilla, determinamos el valor de θ y desaparece la dependencia temporal.

Por ello, en muchos problemas, el que la partícula tenga $3 - r$ grados de libertad equivale al estudio de $3 - r$ variables. Sin embargo, ello no siempre es posible. Si existen vínculos no holónomos, la ecuación de estos no puede recucirse a una relación entre las coordenadas, por lo que es necesario trabajar con todas ellas, aunque permanezcan vinculadas. En general, el número de grados de libertad no equivale al número de coordenadas independientes. Sí representa el mínimo de coordenadas independientes que podríamos conseguir.

4.2 Grados de libertad de un sistema

Si tenemos un sistema de N partículas y ninguna de ellas está vinculada, el número de grados de libertad será de 3 por cada partícula, es decir, el total será 3N (que puede ser un número gigantesco, pensemos en un gas o un líquido). Si ahora se aplican r vínculos independientes, el número de grados de libertad se reduce en la misma cantidad, es decir,

$\mathrm{GDL}=3N-r\,$

Un triángulo rígido
En el caso de las tres partículas en los vértices de un triángulo, teníamos tres vínculos internos y tres externos; por tanto $\mathrm{GDL}=3\times 3-3-3 = 3\,$ Como coordenadas generalizadas para describir este sistema podemos usar las dos coordenadas de una partícula y un ángulo que nos de la orientación del triángulo.

5 Fuerzas de reacción vincular

5.1 Interpretación física

La presencia de vínculos implica la necesidad de introducir fuerzas adicionales en los problemas. Es fácil ver por qué.

De acuerdo con la segunda ley de Newton, la aceleración de una partícula verifica

$m\vec{a}=\vec{F}\,$

donde $\vec{F}$ es la resultante de todas las fuerzas aplicadas.

En el caso de una partícula no vinculada, su movimiento viene gobernado por fuerzas que podemos denominar fuerzas activas, con resultante $\vec{F}_a$

$m\vec{a}_\mathrm{nv}=\vec{F}_a$

Una partícula vinculada se ve obligada a moverse de forma diferente a una que no lo está, por lo que su aceleración no será la misma y por tanto, las fuerzas aplicadas no pueden ser solo las activas

$\vec{a}_{v}\neq \vec{a}_\mathrm{nv}\qquad\qquad \vec{F}\neq \vec{F}_a$

Admitimos entonces que la presencia de vínculos implica que se aplican fuerzas adicionales, que denominamos fuerzas de reacción vincular, con resultante $\vec{F}_r$

$m\vec{a}_\mathrm{v}=\vec{F}_a+\vec{F}_r$

En el ejemplo del péndulo, una partícula no vinculada sometida a la acción del peso describiría una parábola. por la presencia de la varilla, su trayectoria es un arco de circunferencia. La diferencia entre ambas se debe a la presencia de una fuerza adicional, la tensión de la varilla. Esta sería la fuerza de reacción vincular.

También son fuerzas de reacción vincular las reacciones normales a las superficies que impiden que éstas sean penetradas.

5.2 Interpretación matemática

Desde el punto de vista matemático, también es simple ver que se necesitan fuerzas adicionales. En una partícula no vinculada las ecuaciones de movimiento equivalen a 3 ecuaciones diferenciales de 2º orden, con 3 incógnitas: las coordenadas de la partícula.

Si se imponen $r$ vínculos, pasamos a tener $3 + r$ ecuaciones, pero si solo tenemos las 3 incógnitas anteriores, el sistema queda sobredeterminado y probablemente sin solución. Para que el sistema tenga solución, deben ser $3 + r$ incógnitas. Las $r$ incógnitas que se añaden son las fuerzas de reacción vincular.

5.3 Explicación física de las fuerzas de reacción

¿Cuál es el origen de estas fuerzas? La fuerzas de reacción vincular no son simplemente artificios matemáticos para imponer el cumplimiento del vínculo, sino que tienen interpretación física ya que son fuerzas reales.

La mayoría de las fuerzas de reacción son de origen elástico (debidas a su vez a fuerzas electromagnéticas entre los átomos de los sólidos). Si tenemos una varilla que no es completamente rígida, entonces si la masa unida a su extremo genera una pequeña fuerza sobre ella, se produce una deformación dada por la ley de Hooke

$\Delta \vec{r}=\frac{1}{k}\vec{F}$

Por la tercera ley de Newton, la varilla ejerce entonces sobre la masa una fuerza igual y de sentido contrario

$\vec{F}_r=-k\,\Delta\vec{r}$

y el movimiento de la masa vendrá gobernado por

$m\vec{a}=\vec{F}_a+\vec{F}_r=\vec{F}_a-k\,\Delta\vec{r}$

La idealización de que la varilla es completamente rígida corresponde a tomar $k\to\infty\,$ , para el cual $\Delta\vec{r}\to \vec{0}$ y $\vec{F}_r$ tiene límite indeterminado, convirtiéndose en una incógnita más del problema.

Del mismo modo ocurre con las fuerzas normales a las superficies rígidas (como puede ser la de una mesa). Una superficie sólida siempre tendrá una cierta elasticidad y se comporta como una cama elástica en la que la deformación tiende a 0.

5.4 Dirección de las fuerzas de reacción

Una fuerza es un vector y como tal tiene tres componentes. Cuando decimos que la fuerza de reacción es una incógnita adicional, realmente estaríamos añadiendo tres incógnitas. Es necesario especificar en que dirección va la fuerza, de manera que la única incógnita sea la componente en esta dirección.

Aquí hay que diferenciar entre vínculos lisos (sin rozamiento) y rugosos (con rozamiento).

5.4.1 Vínculos lisos

En un vínculo geométrico liso la fuerza de reacción vincular es perpendicular a la superficie definida por el vínculo.

Así, la tensión de un péndulo es perpendicular a la superficie esférica en la que puede moverse la partícula, es deicr, va en la direcciuón radial, a lo largo de la varilla. En una superficie lisa como la de una mesa pulida, es normal a la superficie de la mesa.

$\vec{F}_r =F_r\vec{n}\,$

Matemáticamente, dada una superficie caracterizada por la ecuación

$f(x,y,z,t)=0\,$

puede obtenerse un vector normal a ella como su gradiente

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{\imath}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{\jmath}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$

Por ello, la fuerza de reacción normal puede escribirse en la forma

$\vec{F}_r = \lambda\,\nabla f$

siendo $λ$ la incógnita adicional que nos da la magnitud de la fuerza.

Más en general, si tenemos un vínculo cinemático de la forma

$\sum_i A_i \dot{x}_i + A_0=0$

la componente i de la fuerza de reacción puede ponerse en la forma

$\left(\vec{F}\right)_i = \lambda A_i$

Este resultado contiene al del gradiente que acabamos de ver.

5.4.2 Vínculos rugosos

Cuando hay rozamiento, el problema se complica pues existe además una oposición al movimiento en la dirección tangente a la superficie. Para abordar los problemas en presencia de rozamiento lo que se hace es separar las fuerzas de reacción en dos:

Una fuerza normal, como en el caso del vínculo liso.
Una fuerza tangencial, asociada a la fricción (fuerza de rozamiento).

La fuerza de rozamiento se cuenta como una fuerza activa más, dejando como fuerza de reacción vincular solo la normal. Para poder hacer esto es necesario suplementar el problema con alguna ley que describa la fuerza de rozamiento (rozamiento seco estático, rozamiento seco dinámico, rozamiento viscoso,…)

5.5 Vínculos internos y externos

La clasificación entre vínculos internos y externos también tiene su consecuencia en las fuerzas de reacción vincular.

Los vínculos internos implican la aparición de dos fuerzas (una sobre cada partícula) que al ser internas cumplirán la tercera ley de Newton.

Los vínculos externos llevan asociadas fuerzas externas sobre las partículas en que se imponen.

6 El problema de la partícula vinculada

El problema general de la partícula sometida a $r$ vínculos independientes se convierte en tonces en un sistema de $3 + r$ ecuaciones

Una ecuación vectorial, equivalente a 3 ecuaciones escalares

$\vec{a} = \frac{1}{m}\vec{F}(\vec{r},\vec{v},t)$

$r$ ecuaciones de vínculo

$f_i(\vec{r},\vec{v},t)=0\qquad i = 1,\ldots, r$

Asimismo también tenemos $3 + r$ incognitas: Las 3 componentes de la posición, más las r fuerzas de reacción normal.

La partícula no vinculada también queda incluida en este planteamiento sin más que tomar $r = 0$ . El caso $r = 3$ corresponde a la partícula cuyo estado está completamente prefijado (no tiene porque ser de reposo, si las ligaduras son reónomas) y tiene 0 grados de libertad. No puede ser $r > 3$ ya que en ese caso las ligaduras serían redundantes y el sistema queda indeterminado. Si sujetamos una masa por cuatro hilos, no tenemos suficiente información para saber cuánto vale la tensión de cada hilo por separado.

Dinámica de la partícula y los sistemas vinculados (CMR)

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