Deslizamiento y rodadura de un disco

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Introducción
3 Tiempo para empezar a rodar
4 Velocidad de puntos del disco
5 Energía cinética de traslación
6 Energía cinética de rotación
7 Energía cinética
8 Caso de un aro y una esfera

1 Enunciado

Por un suelo horizontal se lanza un disco macizo de masa M y radio R. Inicialmente el disco no gira, sino que se desliza con velocidad v₀. Si el coeficiente de rozamiento dinámico con el suelo vale μ, ¿cuánto tarda el disco en dejar de deslizar y empezar a rodar sin deslizar? Estudie cómo cambian durante el proceso las siguientes magnitudes:

Velocidad del centro del disco.
Velocidad del punto superior del disco.
Energía cinética de traslación del disco.
Energía cinética de rotación.
Energía cinética total.

¿Cómo cambian los resultados si en lugar de un disco macizo tenemos un aro de radio R? ¿Y si tenemos una bola maciza de radio R?

2 Introducción

Para entender la física del problema es preciso entender que en el disco se producen dos efectos opuestos.

Sobre el disco actúan tres fuerzas

Su peso, en la vertical, perpendicular al plano de contacto.
La reacción normal del plano
La fuerza de rozamiento dinámico, proporcional a la fuerza normal.

De estas, puesto que el movimiento del CM es horizontal, el peso y la reacción normal deben compensarse, por lo que la única fuerza relevante es la de rozamiento dinámico.

Esta fuerza de rozamiento es la que tiene un doble efecto:

Por un lado es una fuerza en el sentido opuesto al movimiento, por lo que debe acelerar al CM del disco hacia atrás
Por otro, su momento respecto al CM produce un par que hace girar al disco hacia adelante, acelerando al CM hacia adelante.

De la composición de estos dos efectos contrapuestos obtenemos el movimiento del disco. El disco avanza cada vez más lentamente, pero al mismo tiempo gira cada vez más rápido. Llega un momento en que la velocidad del punto de contacto entre el disco y el suelo se anula. En ese momento el disco ya no desliza, solo rueda. A partir de ese instante, ya no hay fuerza de rozamiento dinámíco, sino de rodadura (que es mucho menor) y el movimiento continúa como de solo rodadura. A nosotros nos interesa el proceso hasta ese momento.

3 Tiempo para empezar a rodar

Vamos a calcular la evolución de la velocidad del CM y de la velocidad angular con que gira el disco alrededor de éste. Con estos dos datos, hallamos la velocidad del punto de contacto como función del tiempo. El tiempo hasta que empiece a rodar nos lo da el que esta velocidad se anule.

3.1 Velocidad del centro de masas

La aceleración del centro de masas nos la da el teorema de la cantidad de movimiento

$M\vec{a}_C = \sum_i \vec{F}_i = M\vec{g}+\vec{F}_n+\vec{F}_r$

Descomponiendo en las componentes X e Y queda

$M\vec{a}_C = Ma_C\vec{\imath}\qquad\qquad M\vec{g}=-Mg\vec{\jmath}\qquad\qquad\vec{F}_n = F_n\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{F}_r = -F_r\vec{\imath}$

Igualando componente a componente nos quedan las dos ecuaciones escalares

$Ma_C = -F_r\qquad\qquad 0 = -Mg + F_n$

Por tratarse de una situación de rozamiento dinámico

$a_C = -\frac{F_r}{M}=-\frac{\mu F_n}{M}=-\frac{\mu Mg}{M}=-\mu g$

Esta aceleración es constante, por lo que su integración nos da una velocidad que disminuye linealmente con el tiempo

$v_C = v_0-\mu g t\,$

3.2 Velocidad angular

Para hallar la velocidad angular aplicamos el teorema del momento cinético para el centro de masas

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_C}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_C$

En el caso del movimiento plano de un disco, su momento cinético es proporcional a su velocidad angular, que apunta en la dirección normal al plano

$\vec{L}_C=I\vec{\omega}=I\omega\vec{k}$

siendo $I$ el momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular por su centro.

$I = \frac{1}{2}MR^2$

Por tanto nos queda, para el primer miembro

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_C}{\mathrm{d}t} = I\alpha\vec{k}$

siendo $\alpha = \dot{\omega}$ la aceleración angular del disco.

Esta cantidad debe ser igual al momento de las fuerzas que actúan sobre el disco

$\vec{M}_C = \sum_i \overrightarrow{CP}_i\times\vec{F}_i$

Debemos hallar el momento de las tres fuerzas y no solo de la de rozamiento, porque aunque la suma del peso y la fuerza normal sea nula, pueden formar un par de fuerzas no nulo.

El momento del peso es nulo, ya que se aplica en el propio centro de masas

$\vec{M}_1 = \overrightarrow{CC}\times (M\vec{g}) = \vec{0}$

El de la fuerza normal también es cero, ya que aunque se aplica en el punto de contacto A, su dirección es la de una recta que pasa por el CM, con lo que el brazo del par es nulo

$\vec{M}_2 = \overrightarrow{CA}\times \vec{F}_n = (-R\vec{\jmath})\times(F_n\vec{\jmath})=\vec{0}$

El de la fuerza de rozamiento es no nulo, ya que se aplica sobre una recta que no pasa por el CM, sino a una distancia $R$ de este.

$\vec{M}_3 = \overrightarrow{CA}\times \vec{F}_r = (-R\vec{\jmath})\times(-F_r\vec{\imath})=-F_rR\vec{k}=-\mu M g R\vec{k}$

Nos queda entonces la ecuación para la aceleración angular

$I\alpha = -\mu M g R\,$

cuya integración nos da la velocidad angular, que también varía linealmente con el tiempo

$\omega = \omega_0 -\frac{\mu M g R}{I}t$

Inicialmente la velocidad angular es nula (el disco solo desliza), por lo que

$\omega = -\frac{\mu M g R}{I}t = -\frac{\mu M g R}{MR^2/2}t = -\frac{2\mu g}{R}t$

Este resultado implica que aunque inicialmente el disco solo desliza inmediatamente comienza a rotar en sentido horario, como consecuencia del para ejercido por la fuerza de rozamiento.

3.3 Velocidad del punto de contacto

Una vez que tenemos la velocidad de un punto y la velocidad angular podemos hallar la velocidad de cualquier otro. La del punto de contacto con el suelo vale

$\vec{v}_A = \vec{v}_C+\vec{\omega}\times\overrightarrow{CA}$

Sustituyendo

$\vec{v}_A = (v_0-\mu g t)\vec{\imath}+\left( -\frac{2\mu g}{R}t\vec{k}\right)\times(-R\vec{\jmath}) = \left(v_0-3\mu g t\right)\vec{\imath}$

Esta velocidad disminuye linealmente con el tiempo, pero de manera más rápida que la del centro del disco. Se anula cuando

$0 = v_0-3\mu g t \qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{v_0}{3\mu g}$

Este es el tiempo que tarda el disco en empezar a rodar sin deslizamiento (pero no en pararse). No depende ni de la masa ni del radio del disco.

4 Velocidad de puntos del disco

A modo de comparación, es interesante ver como evolucionan las velocidades de diferentes puntos del disco. Según hemos visto, el centro de masas se va frenando progresivamente

$v_C = v_0-\mu g t\,$

La velocidad del punto de contacto también va disminuyendo, pero a un ritmo más rápido

$v_A = v_0-3\mu g t\,$

Si ahora calculamos la velocidad del punto B, situado en el punto superior del disco obtenemos la velocidad

$\vec{v}_B = (v_0-\mu g t)\vec{\imath}+\left( -\frac{2\mu g}{R}t\vec{k}\right)\times(+R\vec{\jmath}) = \left(v_0+\mu g t\right)\vec{\imath}$

es decir, que aunque el disco avanza cada vez más lentamente, el punto B tiene una velocidad cada vez mayor, como consecuencia de la rotación del disco.

Asimismo, podemos hallar la posición del centro instantáneo de rotación. Respecto al punto de contacto A el CIR se halla en

$\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}_A}{\omega}=-\frac{v_0-3\mu g t}{2\mu g t}R\vec{\jmath}$

La posición del CIR se encuentra inicialmente en el infinito, como corresponde a una traslación, para ir posteriormente acercándose al punto de contacto, coincidiendo con éste en el momento en que el disco comienza a rodar sin deslizar.

5 Energía cinética de traslación

La energía cinética de traslación es la asociada al movimiento del centro de masas

$K_T=\frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2$

Sustituyendo la expresión que ya conocemos nos queda

$K_T = \frac{1}{2}M(v_0-\mu g t)^2$

Esta energía cinética decae parabólicamente con el tiempo. Su valor inicial es

$K_{Ti} = \frac{1}{2}Mv_0^2$

y el que tiene cuando el disco empieza a rodar sin deslizar

$K_{Tf} = \frac{1}{2}M\left(v_0-\frac{\mu g}{3\mu g}v_0\right)^2 = \frac{2}{9}Mv_0^2$

La energía cinética de traslación no llega a anularse, puesto que el disco sigue avanzando cuando empieza a rodar sin deslizar.

6 Energía cinética de rotación

La energía cinética de rotación es la asociada al movimiento alrededor del centro de masas. Para una rotación en torno a un eje que mantiene constante su dirección (como es el caso, aunque el CM se está moviendo, el eje de rotación es siempre perpendicular al plano del movimiento)

$K_R=\frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2$

Sustituyendo el momento de inercia y la velocidad angular

$K_R = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}MR^2\right)\left(-\frac{2\mu g}{R} t\right)^2= M\mu^2 g^2 t^2$

A diferencia de la de traslación, la energía cinética de rotación está aumentando cuadráticamente con el tiempo. Inicialmente vale

K R i = 0

y cuando el disco empieza a rodar sin deslizar

$K_{Rf} = M\mu^2 g^2\left(\frac{v_0}{3\mu g}\right)^2 = \frac{1}{9}Mv_0^2$

Vemos entonces que la fuerza de rozamiento no se limita a frenar el avance del disco. También transforma energía cinética de traslación en energía cinética de rotación.

7 Energía cinética

Sumando las dos expresiones anteriores nos queda

$K = \frac{1}{2}M(v_0-\mu g t)^2+M\mu^2 g^2 t^2 = \frac{1}{2}Mv_0^2- M \mu g t v_0 + \frac{3}{2}M\mu^2 g^2 t^2$

Esta energía va disminuyendo progresivamente con el tiempo, es decir, además de la transformación de traslación en rotación se está produciendo una disipación de energía.

El valor inicial de la energía cinética es

$K_i = \frac{1}{2}Mv_0^2$

y el que tiene al empezar a rodar

$K_f = \frac{2}{9}Mv_0^2+\frac{1}{9}Mv_0^2 = \frac{1}{3}Mv_0^2$

siendo la energía disipada en el proceso un tercio de la inicial

$\Delta K = K_f-K_i=-\frac{1}{6}Mv_0^2$

La potencia con la que se disipa energía vale

$P = \frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=-M\mu g v_0+3M\mu^2g^2 t^2$

Si en esta expresión sacamos factor común nos queda

$P = -\mu M g\left(v_0-3\mu M g t\right) = F_r v_A$

es decir, que la potencia es efectivamente la desarrollada por la fuerza de rozamiento en el punto de contacto A.

8 Caso de un aro y una esfera

En el caso del aro, la esfera maciza u otros objetos rodantes (como una esfera hueca) el análisis es idéntico sin más que cambiar el momento de inercia correspondiente. Podemos escribir el momento de inercia para todos estos cuerpos en la forma

$I = \gamma M R^2\,$

donde $γ = 1 / 2$ para el disco, $γ = 1$ para el aro, $γ = 2 / 5$ para la esfera maciza y $γ = 2 / 3$ para la esfera hueca. En el caso general la ecuación para la velocidad del centro de masas no se ve modificada

$v_C = v_0-\mu g t\,$

pero la de la velocidad angular si cambia

$I\alpha = -\mu M g R \qquad\Rightarrow\qquad \omega = -\frac{\mu M g R}{I}t = -\frac{\mu g}{\gamma R}t$

Esto nos da para la velocidad del punto de contacto

$v_A = v_0-\mu g t -\frac{\mu g}{\gamma}t = v_0-\frac{(\gamma+1)\mu g}{\gamma}t$

El tiempo que tarda en empezar a rodar es ahora

$t_R = \frac{\gamma}{\gamma+1}\,\frac{v_0}{\mu g}$

Dependiendo del valor de gamma obtenemos distintos tiempos

Sólido	$γ$	$t R / (μ g)$
Disco	1/2	1/3 = 0.333
Aro	1	1/2 = 0.500
Bola	2/5	2/7 = 0.286
Esfera hueca	2/3	2/5 = 0.400

De estos resultados vemos que a igualdad de velocidad inicial y coeficiente de fricción, el primero en empezar a rodar es la esfera maciza, seguida del disco, siendo el aro el que más tiempo desliza.

La velocidad del punto superior en cada caso es ahora

$v_B = v_0-\mu g t + \frac{\mu g}{\gamma}t = v_0+\frac{1-\gamma}{\gamma}\mu g t$

puesto que $\gamma \leq 1$ esta velocidad siempre aumenta con el tiempo, salvo en el caso del aro, que permanece constante.

Para la energía cinética de traslación tenemos en todos los casos la misma expresión

$K_T = \frac{1}{2}M(v_0-\mu g t)^2$

mientras que la energía cinética de rotación cambia al hacerlo el momento de inercia y la velocidad angular

$K_R = \frac{1}{2}I\omega^2 = \left(\gamma MR^2\right)\left(-\frac{\mu g}{\gamma R} t\right)^2= \frac{M\mu^2 g^2 t^2}{2\gamma}$

siendo la energía cinética total

$K = \frac{1}{2}M(v_0-\mu g t)^2 + \frac{M\mu^2 g^2 t^2}{2\gamma} = \frac{1}{2}Mv_0^2- M \mu g t v_0 + \frac{\gamma+1}{2\gamma}M\mu^2 g^2 t^2$

Esta energía decrece con el tiempo en todos los casos, siendo el anillo el que presenta el decaimiento más lento.

Deslizamiento y rodadura de un disco

De Laplace

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1 Enunciado

2 Introducción

3 Tiempo para empezar a rodar

3.1 Velocidad del centro de masas

3.2 Velocidad angular

3.3 Velocidad del punto de contacto

4 Velocidad de puntos del disco

5 Energía cinética de traslación

6 Energía cinética de rotación

7 Energía cinética

8 Caso de un aro y una esfera

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