Curvas y peraltes (GIE)

De Laplace

1 Enunciado

El circuito de Indianápolis posee curvas de 200m de radio peraltadas un ángulo de 9º12'.

Si no se considera el rozamiento, ¿con qué rapidez debe ir un coche si no quiere deslizarse ni hacia arriba ni hacia abajo?
El coeficiente de rozamiento lateral de un coche con la pista vale $μ = 1.5$ . ¿Cuáles son las velocidades máximas y mínimas que puede adquirir un coche sin derrapar?

2 Sin rozamiento

En la curva, el coche realiza un movimiento circular uniforme. La aceleración de este movimiento es puramente normal. De acuerdo con la segunda ley de Newton nos queda

$m\vec{g}+\vec{\Phi}=-m\frac{|\vec{v}|^2}{R}\vec{u}_\rho$

siendo $\vec{u}_\rho$ el vector unitario radial hacia afuera. El signo menos viene de que la aceleración normal es siempre hacia adentro de la curva.

El peso es puramente vertical (respecto a la superficie terrestre) mientras que la reacción del suelo, $\vec{\phi}$ , cuando no hay rozamiento, es perpendicular a éste y por tanto forma un ángulo con la dirección del peso. Este ángulo es igual a la inclinación del peralte, $α$ . En forma vectorial

$\vec{\Phi} = -\Phi\,\mathrm{sen}(\alpha)\vec{u}_\rho + \Phi\cos(\alpha)\vec{k}$

Si separamos en componentes la segunda ley de Newton nos quedan las ecuaciones escalares

$\begin{array}{rcl}-\Phi\,\mathrm{sen}(\alpha) & = & -\displaystyle m\frac{|\vec{v}|^2}{R}\\ && \\ -mg + \Phi\cos(\alpha) & = & 0 \end{array}$

Despejando y dividiendo una por la otra queda la ecuación básica del peralte

$\frac{|\vec{v}|^2}{Rg}=\mathrm{tg}(\alpha)$

lo que nos da la velocidad

$|\vec{v}| = \sqrt{Rg\,\mathrm{tg}(\alpha)}$

Sustituyendo los datos numéricos

$|\vec{v}| = \sqrt{(200\,\mathrm{m})\left(9.81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\right)\mathrm{tg}(9.2^\circ)} = 17.8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 64.2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

Resulta una velocidad muy reducida para un coche de carreras, pero es de esperar ya que estamos suponiendo una pista perfectamente deslizante lateralmente,

3 Con rozamiento

Cuando consideramos el efecto del rozamiento, añadimos una componente tangencial a la fuerza de reacción del suelo.

$\vec{\Phi}=\vec{F}_n+\vec{F}_r\qquad\qquad m\vec{g}+\vec{F}_n+\vec{F}_r =-m\frac{|\vec{v}|^2}{R}\vec{u}_\rho$

Esta componente tangencial verifica

$|\vec{F}_r| \leq \mu |\vec{F}_n|$

por tanto los valores extremos se alcanzarán cuando se de la igualdad. Al ser tangente a la superficie, esta fuerza de rozamiento lateral cumple

$\vec{F}_r = \pm F_n(\cos(\alpha)\vec{u}_\rho + \mathrm{sen}(\alpha)\vec{k})$

llevando esto a las ecuaciones de movimiento

$\begin{array}{rcl}-F_n\,\mathrm{sen}(\alpha) \pm \mu F_n\cos(\alpha)& = & \displaystyle m\frac{|\vec{v}|^2}{R}\\ && \\ -mg + F_n\cos(\alpha) \pm \mu F_n\,\mathrm{sen}(\alpha)& = & 0 \end{array}$

De nuevo, despejando y dividiendo

$\frac{\mathrm{sen}(\alpha) \mp \mu\cos(\alpha)}{\cos(\alpha) \pm \mu\,\mathrm{sen}(\alpha)}=\frac{|\vec{v}|^2}{Rg}$

El valor máximo de la rapidez en nuestro caso concreto nos lo da

$\frac{|\vec{v}|_\mathrm{max}^2}{200\times 9.81} = \frac{\mathrm{sen}(9.2^\circ) + 1.5\cos(9.2^\circ)}{\cos(9.2^\circ) -1.5\,\mathrm{sen}(9.2^\circ)}=2.195$

que da una rapidez máxima

$|\vec{v}|_\mathrm{max}= \sqrt{2.195\times 200\times 9.8}=65.6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=236\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

El valor mínimo se halla cambiando los dos signos

$\frac{|\vec{v}|_\mathrm{max}^2}{200\times 9.81} = \frac{\mathrm{sen}(9.2^\circ) - 1.5\cos(9.2^\circ)}{\cos(9.2^\circ) +1.5\,\mathrm{sen}(9.2^\circ)}=-1.077$

El que salga un valor negativo de la rapidez al cuadrado simplemente indica que el valor mínimo realmente es 0., es decir, que un vehículo parado en esta pendiente no resbalaría, sino que el rozamiento lo retiene.

Podemos escribir la ecuación para la rapidez extrema de forma más sencilla, definiendo un ángulo $β$ tal que

$\mathrm{tg}(\beta) = \mu\,$

con lo que la ecuación queda

$\frac{\mathrm{tg}(\alpha)\mp \mathrm{tg}(\beta)}{1\pm \mathrm{tg}(\alpha)\mathrm{tg}(\beta)}=\frac{|\vec{v}|^2}{Rg}$

El primer miembro es la tangente de una suma o una diferencia, por lo que la ecuación equivale a

$\mathrm{tg}(\alpha\mp \beta) = \frac{|\vec{v}|^2}{Rg}$

Despejando la velocidad

$|\vec{v}| = \sqrt{Rg\,\mathrm{tg}(\alpha\mp \beta)}$

Gráficamente este resultado significa la siguiente. El que la fuerza de rozamiento tenga un máximo proporcional a la normal implica que la fuerza total ejercida por el suelo (normal más rozamiento), debe estar contenida en un cono cuya abertura es justamente el ángulo $β$ . Para rozamiento nulo, se reduce a una recta y hay solo una velocidad posible. Para valores pequeños del rozamiento tenemos un cono estrecho y existe una velocidad mínima y una máxima. Si el rozamiento es grande y el ángulo $β$ supera al del peralte, el cono se abre, sobrepasando a la vertical. Pero la menor aceleración normal corresponde a un coche parado en cuyo caso las fuerzas son puramente verticales. No es posible superar la vertical, ya que ello implicaría que el rozamiento empuja al coche hacia afuera. Si $β > α$ la velocidad mínima es nula.

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