Campos escalares en diferentes sistemas

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Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas

No hay más que sustituir las relaciones entre los diferentes sistemas.

En el primer caso tenemos

$\phi = \frac{x^2+y^2+z^2}{2} = \frac{\rho^2+z^2}{2} = \frac{r^2}{2}$

El segundo caso es similar al primero

$\phi = \frac{2z^2-x^2-y^2}{2} = \frac{2z^2-\rho^2}{2} = \frac{r^2(3\cos^2\theta-1)}{2}$

En otros problemas de fundamentos matemáticos se realizan cálculos adicionales con estos dos mismos campos.

En el tercer caso, para pasar a cartesianas, conviene multiplicar y dividir por $ρ$ .

$\phi = \frac{z\cos\varphi}{\rho} = \frac{z(\rho\cos\varphi)}{\rho^2} = \frac{zx}{x^2+y^2}$

y para pasar a esféricas basta con sustituir

$\phi = \frac{r\cos\theta\cos\varphi}{r\,\mathrm{sen}\,\theta} = \cot\theta\cos\varphi$

Para el último basta aplicar la relación

$\tan\theta = \frac{\rho}{z}$

con lo que queda

$\phi = \cot\theta-\tan\theta = \frac{z}{\rho}-\frac{\rho}{z} = \frac{z^2-\rho^2}{\rho z}$

y, en cartesianas,

$\phi = \frac{z^2-\rho^2}{\rho z} = \frac{z^2-x^2-y^2}{z\sqrt{x^2+y^2}}$