Asociación de cuatro condensadores GIA

De Laplace

1 Enunciado

El circuito de la figura está formado por cuatro condensadores cuyas capacidades son: $C_1=1\,\mu\mathrm{F}$ , $C_2=2\,\mu\mathrm{F}$ , $C_3=3\,\mu\mathrm{F}$ y $C_4=4\,\mu\mathrm{F}$ . La diferencia de potencial entre A y B es de $12\,\mathrm{V}$ . Calcular la carga de cada condensador.

2 Solución

Los condensadores $C 1$ y $C 3$ , y por otro lado $C 2$ y $C 4$ , forman sendas asociaciones en serie que, a su vez, están conectadas en paralelo, de manera que ambas asociaciones estarán simultáneamente a la misma diferencia de potencial $V_A-V_B=12\,\mathrm{V}\,$ . Nótese que $V A$ es el valor del potencial en sendos conductores de los condensadores $C 1$ y $C 2$ que son equipotenciales. Análogamente, $V B$ es el potencial de los conductores de los condensadores $C 3$ y $C 4$ que están conectado y tendrán siempre el mismo valor de potencial. Así, si $C a$ y $C b$ son las capcidades equivalentes de las asociaciones $C 1$ y $C 3$ , y $C 2$ y $C 4$ , respectivamente, se tendrá que:

$V_A-V_B=\frac{Q_\mathrm{a}}{C_\mathrm{a}}=\frac{Q_\mathrm{b}}{C_\mathrm{b}}$

Fijémonos en la asociación de $C 1$ y $C 3$ : éstos forman un condensador en serie cuando los conductores interconectados de $C 1$ y $C 3$ (punto $C$ ), constituyen un único conductor aislado y descargado. Por tanto, si $\pm Q_1$ y $\pm Q_3$ son las cargas almacenadas en los conductores de dicho condensadores, se debe cumplir:

$-Q_1+Q_3=0\quad\Longrightarrow\quad Q_1=Q_3=Q_\mathrm{a}$

que será la cantidad de carga almacenada en uno de los conductores del condensador equivalente a la asociación, y que coincide físicamente con el conductor no conectado del condensandor $C 1$ . Por su parte, el conductor no conectado del condensador $C 3$ almacenará una cantidad de carga $- Q 3 = - Q 1 = - Q a$ , constituyendo el otro conductor del condesador equivalente. Considerando que el conductor aislado y descargado, resultante de la conexión en $C$ de los condensadores $C 1$ y $C 3$ , se encuentra a un valor de potencial $V C$ , se tendrá que:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle V_A-V_B=(V_A-V_C)+(V_C-V_B)=\frac{Q_\mathrm{1}}{C_1}+\frac{Q_\mathrm{3}}{C_3}=Q_\mathrm{a}\!\ \left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_3}\right)\\ \\ \displaystyle V_A-V_B=\frac{Q_\mathrm{a}}{C_\mathrm{a}}\end{array}\right\}\;\;\Longrightarrow\;\;\frac{1}{C_\mathrm{a}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_3}= \frac{4}{3}\ (\mu\mathrm{F})^{-1}$

Y a partir del valor de la capacidad de la asociación en serie, obtenemos la cantidad de carga eléctrica en los condensadores de dicha asociación cuando se encuentra a una diferencia de potencial de $12\,\mathrm{V}$ :

$Q_1=Q_3=Q_\mathrm{a}=C_\mathrm{a}(V_A-V_B)=9\,\mu\mathrm{C}$

En la asociación de $C 2$ y $C 4$ ocurre algo similar: el conductor resultante de la conexión en $D$ también estará aislado y descargado, y a un valor del potencial $V D$ . Se tendrá, pues,

$-Q_2+Q_4=0\quad\Longrightarrow\quad Q_2=Q_4=Q_\mathrm{b}$

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle V_A-V_B=(V_A-V_D)+(V_D-V_B)=\frac{Q_\mathrm{2}}{C_2}+\frac{Q_\mathrm{4}}{C_4}=Q_\mathrm{b}\!\ \left(\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_4}\right)\\ \\ \displaystyle V_A-V_B=\frac{Q_\mathrm{b}}{C_\mathrm{b}}\end{array}\right\}\;\;\Longrightarrow\;\;\frac{1}{C_\mathrm{b}}=\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_4}= \frac{3}{4}\ (\mu\mathrm{F})^{-1}$

A partir de estas relaciones determinamos la carga electrica en la segunda asociación:

$Q_2=Q_4=Q_\mathrm{b}=C_\mathrm{b}(V_A-V_B)=16\,\mu\mathrm{C}$

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