Ascensor térmico (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Variables de estado
3 Trabajo, calor y energía
4 Trabajo neto de salida
5 Rendimientos

1 Enunciado

Se quiere construir un “ascensor térmico” mediante un cilindro con pistón. Para ello, tenemos un tubo cilíndrico de 16 cm² de sección. Inicialmente (“estado A”) contiene aire seco a $p_A=100\,\mathrm{kPa}$ y $T_A=300\,K$ . El pistón se halla inicialmente a una altura $h_A=10\,\mathrm{cm}$ . La presión exterior es en todo momento de 100 kPa. El ciclo descrito por este gas es el siguiente:

A→B: Manteniendo el cilindro en contacto con un baño térmico a 300K, se coloca bruscamente sobre el pistón una pesa de 40N, de manera que el pistón baja.

B→C: Dejando la pesa puesta, se aísla el cilindro del baño a 300K y en su lugar se pone en contacto con uno a 600K, de manera que el pistón sube lentamente por la dilatación del gas, llevando la pesa con él.

C→D: Manteniendo el cilindro en contacto con el baño a 600K, se quita la pesa en su nueva altura. Al quitarla bruscamente, el pistón sube aún más.

D→A: Sin la pesa, se aísla del baño a 600K y se vuelve a poner en contacto con el baño a 300K, de manera que retorna lentamente a su estado inicial.

Para este proceso:

Determine la presión, volumen y temperatura en cada uno de los estados A, B, C y D.
Calcule, para cada paso, el calor y el trabajo que entran en el tubo (que serán negativos si salen), así como la variación en la entalpía y la energía interna del gas.
Calcule el trabajo neto que sale del sistema en un ciclo. ¿Coincide este trabajo con el incremento en la energía potencial de la pesa?
A partir del calor y el trabajo halle el rendimiento η del ciclo, así como el rendimiento de la segunda ley, ε, comparándolo con el de un ciclo reversible entre estas dos temperaturas.

2 Variables de estado

2.1 Estado A

$p_A=100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_A=300\,\mathrm{K}\qquad\qquad V_A=Sh_A=0.160\,\mathrm{L}$

2.2 Estado B

$p_B=p_A+\frac{mg}{S}=125\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_B=T_A=300\,\mathrm{K}\qquad\qquad V_B=\frac{p_Av_A}{p_B}=0.128\,\mathrm{L}$

2.3 Estado C

$p_C=p_B=125\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_C=600\,\mathrm{K}\qquad\qquad V_C=\frac{V_BT_C}{T_B}=0.256\,\mathrm{L}$

2.4 Estado D

$p_D=100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_D=600\,\mathrm{K}\qquad\qquad V_D=\frac{V_AT_D}{T_A}=0.320\,\mathrm{L}$

3 Trabajo, calor y energía

3.1 Proceso A→B

$\Delta U = nc_v\Delta T = 0\qquad\qquad \Delta H = n c_p\Delta T = 0$

La presión exterior es constante

$W=-p_\mathrm{ext}\,\Delta V = -p_B(V_B-V_A)=+4.0\,\mathrm{J}\qquad\qquad Q=\overbrace{\Delta U}^{=0}-W=-4.0\,\mathrm{J}$

3.2 Proceso B→C

$\Delta U = nc_v\Delta T = \frac{p_CV_C-p_BV_B}{\gamma-1}=+40.0\,\mathrm{J}\qquad\qquad \Delta H = n c_p\Delta T = \frac{\gamma(p_CV_C-p_BV_B)}{\gamma-1}=+56.0$

La presión exterior es constante

$W=-p_\mathrm{ext}\,\Delta V = -p_C(V_B-V_C)=-16.0\,\mathrm{J}\qquad\qquad Q=\Delta H =\Delta U-W=+56.0\,\mathrm{J}$

3.3 Proceso C→D

$\Delta U = nc_v\Delta T = 0\qquad\qquad \Delta H = n c_p\Delta T = 0$

La presión exterior es constante

$W=-p_\mathrm{ext}\,\Delta V = -p_D(V_D-V_D)=-6.4\,\mathrm{J}\qquad\qquad Q=\overbrace{\Delta U}^{=0}-W=+6.4\,\mathrm{J}$

3.4 Proceso D→A

$\Delta U = nc_v\Delta T = \frac{p_AV_A-p_DV_D}{\gamma-1}=-40.0\,\mathrm{J}\qquad\qquad \Delta H = n c_p\Delta T = \frac{\gamma(p_AV_A-p_DV_D)}{\gamma-1}=-56.0$

La presión exterior es constante

$W=-p_\mathrm{ext}\,\Delta V = -p_A(V_A-V_D)=+16.0\,\mathrm{J}\qquad\qquad Q=\Delta H =\Delta U-W=-56.0\,\mathrm{J}$

3.5 Tabla resumen

	W (J)	Q (J)	ΔU (J)	ΔH (J)
A→B	+4.0	-4.0	0.0	0.0
B→C	-16.0	+56.0	+40.0	+56.0
C→D	-6.4	+6.4	0.0	0.0
D→A	+16.0	-56.0	-40.0	-56.0
Neto	-2.4	+2.4	0.0	0.0

4 Trabajo neto de salida

$W_\mathrm{out,neto}=W_\mathrm{out}-W_\mathrm{in}=+6.4-4.0=+2.4\,\mathrm{J}$

El trabajo para subir la pesa es

$W_g=mg\,\Delta h=mg(h_C-h_A)=40\,\mathrm{N}(16\,\mathrm{cm}-10\,\mathrm{cm})=+2.4\,\mathrm{J}$

luego sí coinciden.

5 Rendimientos

$\eta=\frac{W_\mathrm{out,neto}}{Q_\mathrm{in}}=\frac{2.4}{56.0+6.4}=3.84\%$

$\varepsilon=\frac{\eta}{\eta^\mathrm{rev}}=\frac{0.0384}{1-(300/600)}=7.69\%$

Ascensor térmico (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Variables de estado

2.1 Estado A

2.2 Estado B

2.3 Estado C

2.4 Estado D

3 Trabajo, calor y energía

3.1 Proceso A→B

3.2 Proceso B→C

3.3 Proceso C→D

3.4 Proceso D→A

3.5 Tabla resumen

4 Trabajo neto de salida

5 Rendimientos

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